Étude complète d'une fonction rationnelle

4.1 Méthode

On applique le plan de la leçon 1, avec trois points d'attention :

• les valeurs interdites : on étudie les limites à gauche et à droite, et l'on met une double barre dans le tableau ;
• le signe de $f'(x)$ : le dénominateur $q(x)^2$ est strictement positif, donc $f'(x)$ a le signe de son numérateur, que l'on factorise ;
• les asymptotes et la position de la courbe par rapport à elles, que l'on trace avant la courbe.

4.2 Un exemple complet

Exemple 7. On reprend $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1} = x - 1 + \dfrac{4}{x - 1}$ (exemple 6).

1. Ensemble de définition. $D_f = \left]-\infty\,;1\right[ \cup \left]1\,;+\infty\right[$.

2. Limites.

• En $\pm\infty$ : le quotient des termes de plus haut degré est $\dfrac{x^2}{x} = x$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
• En $1$ : le numérateur tend vers $1 - 2 + 5 = 4$. Si $x < 1$, $x - 1$ tend vers $0$ en restant négatif : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$. Si $x > 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. La droite $x = 1$ est asymptote verticale.

3. Dérivée. Par la règle du quotient, $f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 5)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x + 1)(x - 3)}{(x - 1)^2}.$ On retrouve ce résultat avec l'écriture de l'exemple 6 : $f'(x) = 1 - \dfrac{4}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 1)^2 - 4}{(x - 1)^2}$.

4. Signe et tableau. $f'(x)$ a le signe de $(x + 1)(x - 3)$ : positif à l'extérieur de $-1$ et $3$, négatif entre eux (sauf en $1$, valeur interdite). $f(-1) = \dfrac{8}{-2} = -4$ et $f(3) = \dfrac{8}{2} = 4$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$-4$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ admet un maximum local $-4$ en $-1$ et un minimum local $4$ en $3$. Le maximum local est plus petit que le minimum local : ils sont sur deux branches différentes.

5. Asymptotes et position. Asymptote verticale $x = 1$ ; asymptote oblique $y = x - 1$ en $\pm\infty$, la courbe étant au-dessus pour $x > 1$ et en dessous pour $x < 1$ (exemple 6).

6. Centre de symétrie. Les asymptotes se coupent en $\Omega(1\,;0)$. Pour $x \neq 1$, $2 - x \neq 1$ et $f(2 - x) = (2 - x) - 1 + \frac{4}{(2 - x) - 1} = -(x - 1) - \frac{4}{x - 1} = -f(x),$ donc $f(2 - x) + f(x) = 0$ : $\Omega(1\,;0)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. On aurait pu n'étudier $f$ que sur $\left]1\,;+\infty\right[$ et compléter par symétrie.

7. Points remarquables. $f(0) = -5$. Le discriminant de $x^2 - 2x + 5$ est $-16 < 0$ : la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses. Aux points $(-1\,;-4)$ et $(3\,;4)$, les tangentes sont horizontales.

8. Tracé. On trace les asymptotes $x = 1$ et $y = x - 1$, on place $(-1\,;-4)$, $(3\,;4)$, $(0\,;-5)$, $(2\,;5)$, $(-3\,;-5)$ et $(5\,;5)$, puis on suit le tableau. Branche de gauche : la courbe monte le long de l'asymptote oblique, en dessous, jusqu'à $(-1\,;-4)$, puis plonge vers $-\infty$ le long de $x = 1$. Branche de droite : elle descend de $+\infty$ jusqu'à $(3\,;4)$, puis remonte en se rapprochant de l'asymptote oblique, au-dessus.

4.3 Numérateur et dénominateur de degré 2

Exemple 8. Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x^2 - 1}$.

1. Ensemble de définition et parité. $x^2 - 1 = 0$ pour $x = \pm 1$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;1\}$. Ce domaine est symétrique par rapport à $0$ et $f(-x) = f(x)$ : $f$ est paire. L'axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe.

2. Limites. En $\pm\infty$, $\dfrac{x^2}{x^2} = 1$ : la droite $y = 1$ est asymptote horizontale. En $1$, le numérateur tend vers $4$ ; $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ tend vers $0$ en restant négatif si $x < 1$ (proche de $1$), positif si $x > 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. Par parité, $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$. Les droites $x = 1$ et $x = -1$ sont asymptotes verticales.

3. Dérivée. $f'(x) = \dfrac{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 3)}{(x^2 - 1)^2} = \dfrac{-8x}{(x^2 - 1)^2}$, du signe de $-x$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	‖	$+$	$0$	$-$	‖	$-$
variations de $f$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$-3$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$1$

4. Position. $f(x) - 1 = \dfrac{4}{x^2 - 1}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote $y = 1$ pour $\lvert x\rvert > 1$, en dessous pour $\lvert x\rvert < 1$. Elle a trois branches.