Asymptote oblique

3.1 Définition

Définition. Soit $a$ et $b$ deux réels. On dit que la droite $D$ d'équation $y = ax + b$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ si $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = ax + b + r(x) \qquad \text{avec} \qquad \lim_{x \to +\infty} r(x) = 0.$ On définit de même une asymptote en $-\infty$. Si $a \neq 0$, on parle d'asymptote oblique.

C'est la formulation des deux programmes. Elle revient à dire que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \big[f(x) - (ax + b)\big] = 0$.

Interprétation. Pour un réel $x$, soit $M\big(x\,;f(x)\big)$ le point de la courbe et $P(x\,;ax + b)$ le point de la droite de même abscisse. La distance verticale $MP = \lvert f(x) - (ax + b)\rvert = \lvert r(x)\rvert$ tend vers $0$ : la courbe se rapproche de la droite autant que l'on veut.

Le cas $a = 0$ redonne l'asymptote horizontale $y = b$ du chapitre 2.

3.2 Justifier qu'une droite donnée est asymptote

Méthode. On calcule $f(x) - (ax + b)$, on le simplifie, puis on montre que sa limite est $0$.

Exemple 5. Soit $g(x) = \dfrac{2x^2 + x}{x + 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$, et $D$ la droite d'équation $y = 2x - 1$. Pour $x \neq -1$ : $g(x) - (2x - 1) = \frac{2x^2 + x - (2x - 1)(x + 1)}{x + 1} = \frac{2x^2 + x - (2x^2 + x - 1)}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}.$ Comme $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x + 1} = 0$, la droite $D$ est asymptote oblique à la courbe de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

3.3 Écrire $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - d}$

Pour une fonction rationnelle dont le numérateur est de degré $2$ et le dénominateur de degré $1$, l'énoncé demande souvent de trouver des réels $a$, $b$, $c$ tels que $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - d}$. On réduit au même dénominateur et on identifie les coefficients.

Exemple 6. Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Cherchons $a$, $b$, $c$ tels que $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x - 1}$.

On a $ax + b + \dfrac{c}{x - 1} = \dfrac{(ax + b)(x - 1) + c}{x - 1} = \dfrac{ax^2 + (b - a)x + c - b}{x - 1}$. On identifie avec $x^2 - 2x + 5$ : $a = 1$, $b - a = -2$, $c - b = 5$, d'où $a = 1$, $b = -1$, $c = 4$ : $f(x) = x - 1 + \frac{4}{x - 1}.$ Comme $\dfrac{4}{x - 1}$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, la droite d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.

S1 · S3 En S1-S3, on doit aussi savoir trouver cette écriture sans qu'elle soit donnée, par la division du numérateur par le dénominateur (leçon 8).

3.4 Position de la courbe par rapport à l'asymptote

On étudie le signe de $f(x) - (ax + b)$ :

• là où il est positif, la courbe est au-dessus de l'asymptote ;
• là où il est négatif, elle est en dessous ;
• là où il est nul, elles se coupent.

Exemple 6 (suite). $f(x) - (x - 1) = \dfrac{4}{x - 1}$, du signe de $x - 1$. Sur $\left]1\,;+\infty\right[$, la courbe est au-dessus de l'asymptote ; sur $\left]-\infty\,;1\right[$, elle est en dessous. Elle ne la coupe jamais.

Exemple 5 (suite). $g(x) - (2x - 1) = \dfrac{1}{x + 1}$ : la courbe de $g$ est au-dessus de $D$ pour $x > -1$, en dessous pour $x < -1$.

3.5 Les asymptotes d'une fonction rationnelle

Pour $f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)}$, où $p$ et $q$ sont des polynômes de degrés au plus $2$ :

• en une racine $x_0$ de $q$ qui n'annule pas $p$, $f$ tend vers l'infini : la droite $x = x_0$ est asymptote verticale ;
• si $p$ est de degré strictement plus petit que $q$, la droite $y = 0$ est asymptote horizontale ;
• si $p$ et $q$ ont le même degré, la droite $y = \dfrac{\text{coefficient dominant de } p}{\text{coefficient dominant de } q}$ est asymptote horizontale ;
• si $p$ est de degré $2$ et $q$ de degré $1$, $f(x)$ tend vers l'infini en $\pm\infty$, et la courbe a une asymptote oblique, que l'on obtient par l'écriture du paragraphe 3.3.