Fonctions irrationnelles

5.1 Ce qu'il faut savoir

Une fonction irrationnelle simple contient une racine carrée $\sqrt{ax + b}$.

• Ensemble de définition : il faut $ax + b \geq 0$.
• Dérivabilité (chapitre 3) : $x \mapsto \sqrt{ax + b}$ est dérivable là où $ax + b > 0$, de dérivée $\dfrac{a}{2\sqrt{ax + b}}$. Là où $ax + b = 0$, elle n'est pas dérivable : on étudie le taux d'accroissement à droite ou à gauche. S'il tend vers l'infini, la courbe a une demi-tangente verticale en ce point.
• Limites : on utilise les théorèmes du chapitre 2, et l'expression conjuguée en cas de forme indéterminée.

5.2 Un exemple complet

Exemple 9. Soit $f(x) = (x - 3)\sqrt{x}$.

1. Ensemble de définition. $D_f = [0\,;+\infty[$.

2. Dérivée. La racine carrée est dérivable sur $\left]0\,;+\infty\right[$. Par la règle du produit, pour $x > 0$ : $f'(x) = 1 \times \sqrt x + (x - 3) \times \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{2x + x - 3}{2\sqrt x} = \frac{3(x - 1)}{2\sqrt x}.$ Elle a le signe de $x - 1$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$, strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. Le minimum est $f(1) = -2$.

3. En $0$. Pour $x > 0$, le taux d'accroissement est $\dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \dfrac{(x - 3)\sqrt x}{x} = \dfrac{x - 3}{\sqrt x}$. Le numérateur tend vers $-3$ et $\sqrt x$ tend vers $0$ en restant positif : le taux tend vers $-\infty$. $f$ n'est pas dérivable en $0$, et la courbe a une demi-tangente verticale à l'origine.

4. Limite en $+\infty$. $x - 3$ et $\sqrt x$ tendent vers $+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

$x$	$0$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$0$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

5. Points remarquables. $f(x) = 0$ pour $x = 0$ ou $x = 3$. Au point $(3\,;0)$, la tangente a pour coefficient directeur $f'(3) = \dfrac{6}{2\sqrt3} = \sqrt3$. On place aussi $f(4) = 2$.

6. Tracé. La courbe part de l'origine verticalement vers le bas, descend jusqu'à $(1\,;-2)$ (tangente horizontale), remonte, coupe l'axe des abscisses en $(3\,;0)$ et monte vers $+\infty$.

Exemple 10. Soit $g(x) = x\sqrt{3 - x}$, définie sur $\left]-\infty\,;3\right]$ et dérivable sur $\left]-\infty\,;3\right[$. Avec la dérivée de $x \mapsto \sqrt{3 - x}$, qui est $-\dfrac{1}{2\sqrt{3 - x}}$ : $g'(x) = \sqrt{3 - x} - \frac{x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{3(2 - x)}{2\sqrt{3 - x}}.$ $g$ croît sur $\left]-\infty\,;2\right]$ et décroît sur $[2\,;3]$ ; son maximum est $g(2) = 2$. En $3$, pour $x < 3$, le taux $\dfrac{g(x) - g(3)}{x - 3} = \dfrac{x\sqrt{3 - x}}{x - 3} = -\dfrac{x}{\sqrt{3 - x}}$ tend vers $-\infty$ : demi-tangente verticale au point $(3\,;0)$. En $-\infty$, $x$ tend vers $-\infty$ et $\sqrt{3 - x}$ vers $+\infty$ : $g$ tend vers $-\infty$.