Réels en progression arithmétique ou géométrique

8.1 Progression arithmétique

Définition. Trois réels $a$, $b$, $c$ (dans cet ordre) sont en progression arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que $b = a + r$ et $c = b + r$ : ce sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Propriété. $a$, $b$, $c$ sont en progression arithmétique si et seulement si $a + c = 2b$, c'est-à-dire $b = \dfrac{a + c}{2}$ : le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres.

Démonstration. $b - a = c - b$ équivaut à $a + c = 2b$.

Exemple 38. Pour quelle valeur de $x$ les réels $x$, $2x + 1$, $5x - 4$ sont-ils en progression arithmétique ? Il faut $x + (5x - 4) = 2(2x + 1)$, soit $6x - 4 = 4x + 2$, donc $x = 3$. Les réels sont $3$, $7$, $11$ (raison $4$).

Exemple 39. Trois réels en progression arithmétique ont pour somme $15$ et pour produit $80$. On les écrit $b - r$, $b$, $b + r$. Leur somme vaut $3b = 15$, donc $b = 5$. Leur produit vaut $5(5 - r)(5 + r) = 5(25 - r^2) = 80$, donc $r^2 = 9$ et $r = 3$ ou $r = -3$. Les réels sont $2$, $5$, $8$ (ou $8$, $5$, $2$).

8.2 Progression géométrique

Définition. Trois réels $a$, $b$, $c$ (dans cet ordre) sont en progression géométrique s'il existe un réel $q$ tel que $b = qa$ et $c = qb$.

Propriété. Si $a$, $b$, $c$ sont non nuls, ils sont en progression géométrique si et seulement si $b^2 = ac$. Si $a$ et $c$ sont strictement positifs, le réel positif $b = \sqrt{ac}$ est leur moyenne géométrique.

Démonstration. Pour des réels non nuls, $\dfrac ba = \dfrac cb$ équivaut à $b^2 = ac$.

Exemple 40. Les réels $4$, $x$, $9$ sont en progression géométrique si et seulement si $x^2 = 36$, c'est-à-dire $x = 6$ (raison $\dfrac32$) ou $x = -6$ (raison $-\dfrac32$).

Exemple 41. Trois réels en progression géométrique ont pour produit $216$ et pour somme $19$. On les écrit $\dfrac bq$, $b$, $bq$. Leur produit vaut $b^3 = 216$, donc $b = 6$. Leur somme donne $\dfrac6q + 6 + 6q = 19$, soit $6q^2 - 13q + 6 = 0$, dont les solutions sont $q = \dfrac32$ et $q = \dfrac23$. Les réels sont $4$, $6$, $9$ (ou $9$, $6$, $4$).

8.3 Deux problèmes

Exemple 42 (modèle simplifié). Un prix passe de $10\,000$ F à $12\,100$ F en deux hausses successives de même pourcentage. Les trois prix sont en progression géométrique : le prix intermédiaire $x$ vérifie $x^2 = 10\,000 \times 12\,100$, donc $x = 11\,000$ F. Chaque hausse est de $10\,\%$.

Exemple 43. Les côtés d'un triangle rectangle sont en progression arithmétique : $a - r$, $a$, $a + r$, avec $r > 0$. Par le théorème de Pythagore, $(a + r)^2 = a^2 + (a - r)^2$, soit $a^2 = 4ar$, donc $a = 4r$. Les côtés valent $3r$, $4r$, $5r$ : le triangle est proportionnel au triangle $3$, $4$, $5$.