Suites arithmétiques

5.1 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1} = u_n + r.$ Le réel $r$ est la raison de la suite : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre.

Démontrer qu'une suite est arithmétique. On calcule $u_{n+1} - u_n$ et on vérifie que cette différence ne dépend pas de $n$.

Exemple 21. Soit $u_n = 5 - 3n$. Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = 5 - 3(n + 1) - (5 - 3n) = -3$. La suite est arithmétique, de raison $-3$ et de premier terme $u_0 = 5$.

En revanche, pour $w_n = n^2$, $w_{n+1} - w_n = 2n + 1$ dépend de $n$ : par exemple $w_1 - w_0 = 1$ et $w_2 - w_1 = 3$. La suite $(w_n)$ n'est pas arithmétique.

Exemple 22 (modèle simplifié). Une élève a $20\,000$ F dans sa tirelire et y ajoute $2\,500$ F à la fin de chaque mois. On note $s_n$ son épargne au bout de $n$ mois : $s_0 = 20\,000$ et $s_{n+1} = s_n + 2\,500$. La suite $(s_n)$ est arithmétique de raison $2\,500$.

5.2 Terme général

Propriété. Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$ : $u_n = u_0 + nr \qquad \text{et} \qquad u_n = u_p + (n - p)\,r.$

Justification. Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on ajoute $n$ fois la raison (on le démontre par récurrence : $u_0 = u_0 + 0 \times r$, et si $u_n = u_0 + nr$, alors $u_{n+1} = u_0 + nr + r = u_0 + (n + 1)r$). Pour aller de $u_p$ à $u_n$, on ajoute $n - p$ fois la raison.

Exemple 23. Dans l'exemple 22, $s_n = 20\,000 + 2\,500\,n$. Au bout d'un an, $s_{12} = 50\,000$ F. L'épargne atteint $100\,000$ F quand $2\,500\,n \geq 80\,000$, c'est-à-dire à partir de $n = 32$ mois.

Exemple 24. $(u_n)$ est arithmétique, avec $u_3 = 7$ et $u_{10} = 28$. Comme $u_{10} = u_3 + 7r$, on a $7r = 21$, donc $r = 3$. Puis $u_0 = u_3 - 3r = -2$, et $u_n = -2 + 3n$. Par exemple $u_{100} = 298$.

5.3 Sens de variation et représentation

Comme $u_{n+1} - u_n = r$ :

• si $r > 0$, la suite est strictement croissante ;
• si $r < 0$, elle est strictement décroissante ;
• si $r = 0$, elle est constante.

Les points $M_n\big(n\,;u_0 + nr\big)$ sont alignés sur la droite d'équation $y = rx + u_0$ : une suite arithmétique a une croissance (ou une décroissance) linéaire.

5.4 Somme de termes consécutifs, notation $\sum$

La somme des premiers entiers. Pour tout $n \geq 1$, $1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.$ Démonstration. On écrit la somme $S$ dans les deux sens et on additionne : $\begin{aligned} S &= 1 + 2 + \cdots + (n - 1) + n \\ S &= n + (n - 1) + \cdots + 2 + 1 \\ 2S &= (n + 1) + (n + 1) + \cdots + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1). \end{aligned}$ Par exemple, $1 + 2 + \cdots + 100 = \dfrac{100 \times 101}{2} = 5\,050$.

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}.$ De $u_p$ à $u_n$ (avec $p \leq n$), il y a $n - p + 1$ termes : $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = (n - p + 1)\,\dfrac{u_p + u_n}{2}$.

Démonstration. Chaque terme s'écrit $u_p + kr$, avec $k$ allant de $0$ à $n - p$. La somme vaut donc $(n - p + 1)\,u_p + r\,\big(0 + 1 + \cdots + (n - p)\big) = (n - p + 1)\,u_p + r\,\dfrac{(n - p)(n - p + 1)}{2} = (n - p + 1)\,\dfrac{2u_p + (n - p)r}{2}$, et $2u_p + (n - p)r = u_p + u_n$.

Notation $\sum$. La somme $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$ s'écrit $\displaystyle\sum_{k=p}^{n} u_k$, qui se lit « somme, pour $k$ allant de $p$ à $n$, de $u$ indice $k$ ». La lettre $k$ est muette : on peut la remplacer par une autre lettre. Par exemple $\displaystyle\sum_{k=1}^{100} k = 5\,050$.

Exemple 25. Avec $u_n = -2 + 3n$ (exemple 24) :

• $\displaystyle\sum_{k=0}^{20} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ compte $21$ termes, de $u_0 = -2$ à $u_{20} = 58$ : la somme vaut $21 \times \dfrac{-2 + 58}{2} = 21 \times 28 = 588$ ;
• $\displaystyle\sum_{k=3}^{10} u_k = 7 + 10 + 13 + \cdots + 28$ compte $10 - 3 + 1 = 8$ termes : elle vaut $8 \times \dfrac{7 + 28}{2} = 140$.