Convergence d'une suite

7.1 Une approche intuitive

Que deviennent les termes $u_n$ quand $n$ devient très grand ? On dit « quand $n$ tend vers $+\infty$ ».

Exemple 33. Soit $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$. Alors $u_{10} = \dfrac{1}{11} \approx 0{,}09$, $u_{100} = \dfrac{1}{101} \approx 0{,}0099$, $u_{1000} = \dfrac{1}{1001} \approx 0{,}000\,999$. Les termes se rapprochent de $0$ autant que l'on veut : pour avoir $u_n < 0{,}001$, il suffit que $n + 1 > 1\,000$, c'est-à-dire $n \geq 1\,000$.

Définition (approche intuitive). On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$, ou qu'elle admet $\ell$ pour limite, si les termes $u_n$ peuvent être aussi proches de $\ell$ que l'on veut, à condition que $n$ soit suffisamment grand. On note $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim u_n = \ell.$ Graphiquement, les points $M_n(n\,;u_n)$ finissent par entrer, et rester, dans n'importe quelle bande horizontale aussi étroite que l'on veut autour de la droite $y = \ell$.

Exemple 34. Soit $u_n = 2 + \dfrac{(-1)^n}{n + 1}$. Les termes valent $3$ ; $1{,}5$ ; $2{,}33$ ; $1{,}75$ ; $2{,}2$… Sur un axe, ils sautent de part et d'autre de $2$ en s'en rapprochant. L'écart entre $u_n$ et $2$ vaut $\dfrac{1}{n + 1}$, qui devient aussi petit que l'on veut : la suite converge vers $2$.

Définition. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Il y a deux cas :

• la suite tend vers $+\infty$ (ses termes deviennent aussi grands que l'on veut pour $n$ assez grand), ou vers $-\infty$ : c'est le cas de $(n^2)$ ;
• la suite n'a pas de limite : c'est le cas de $\big((-1)^n\big)$, qui vaut alternativement $1$ et $-1$.

7.2 Théorèmes admis

Unicité. Si une suite admet une limite, cette limite est unique.

Suites $u_n = f(n)$. Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ ($\ell$ réel, $+\infty$ ou $-\infty$), alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(n) = \ell$. On utilise donc les limites en $+\infty$ du chapitre 2.

Suites de référence. Pour $n \geq 1$ : les suites $\left(\dfrac1n\right)$, $\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ et $\left(\dfrac{1}{\sqrt n}\right)$ convergent vers $0$ ; les suites $(n)$, $(n^2)$ et $(\sqrt n)$ tendent vers $+\infty$.

Opérations. Les théorèmes sur la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient sont les mêmes que pour les fonctions (chapitre 2), avec les mêmes formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac00$.

Exemple 35.

• $u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ : en $+\infty$, la fonction rationnelle associée a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré, $\dfrac{2x^2}{x^2} = 2$. Donc $\lim u_n = 2$.
• $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ (exemples 12 et 13) : de même, $\lim u_n = 2$. La suite est croissante, majorée par $2$, et ses termes se rapprochent de $2$.
• $u_n = n^2 - 3n$ (exemple 1) : c'est une forme $\infty - \infty$. On factorise : $u_n = n^2\left(1 - \dfrac3n\right)$, avec $n^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac3n \to 1$. Donc $\lim u_n = +\infty$.
• $w_n = \sqrt{n^2 + 1} - n$ : forme $\infty - \infty$. Avec l'expression conjuguée, $w_n = \dfrac{(n^2 + 1) - n^2}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim w_n = 0$.

7.3 Limites des suites arithmétiques et géométriques

Suites arithmétiques. Si $u_n = u_0 + nr$ : lorsque $r > 0$, $\lim u_n = +\infty$ ; lorsque $r < 0$, $\lim u_n = -\infty$ ; lorsque $r = 0$, la suite est constante. Une suite arithmétique de raison non nulle est donc divergente.

Suites géométriques : la suite $(q^n)$ (théorème admis).

À la calculatrice : $0{,}9^{100} \approx 0{,}000\,027$ et $1{,}01^{1\,000} \approx 20\,959$ ; même une raison à peine plus grande que $1$ finit par dépasser tout nombre. Par exemple, $\left(\dfrac{1}{10}\right)^n = \dfrac{1}{10^n}$ tend vers $0$.

Conséquence. Si $-1 < q < 1$, la suite géométrique $u_n = u_0\,q^n$ converge vers $0$.

Exemple 36 (suite des exemples 2, 6 et 19). $u_n = 4 - 3 \times \left(\dfrac12\right)^n$. Comme $-1 < \dfrac12 < 1$, $\left(\dfrac12\right)^n \to 0$, donc $\lim u_n = 4$. On retrouve ce que montrait l'axe à l'exemple 6 : les termes s'accumulent près de $4$.

Exemple 37 (suite de l'exemple 32). $1 + \dfrac12 + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = 2 - \dfrac{1}{2^n}$ tend vers $2$. On peut le voir sur une bande de longueur $2$ : on en couvre la moitié, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite.