Suites géométriques

6.1 Définition

Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1} = q\,u_n.$ Le réel $q$ est la raison de la suite : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre.

Démontrer qu'une suite est géométrique. On écrit $u_{n+1}$ sous la forme $q \times u_n$, avec $q$ indépendant de $n$. Si les termes ne s'annulent pas, cela revient à montrer que le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ ne dépend pas de $n$.

Exemple 26. Soit $u_n = 2^{2n+1}$. Pour tout $n$, $u_{n+1} = 2^{2n+3} = 2^2 \times 2^{2n+1} = 4\,u_n$. La suite est géométrique, de raison $4$ et de premier terme $u_0 = 2$.

En revanche, pour $v_n = n \times 2^n$ : $v_1 = 2$, $v_2 = 8$, $v_3 = 24$, et $\dfrac{v_2}{v_1} = 4 \neq \dfrac{v_3}{v_2} = 3$. La suite $(v_n)$ n'est pas géométrique.

Pourcentages. Augmenter une quantité de $t\,\%$ revient à la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$ ; la diminuer de $t\,\%$, à la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$. Une quantité qui augmente chaque année du même pourcentage suit donc une suite géométrique.

Exemple 27 (modèle simplifié). Une ville compte $50\,000$ habitants en 2026, et sa population augmente de $3\,\%$ par an. On note $p_n$ la population en $2026 + n$ : $p_0 = 50\,000$ et $p_{n+1} = 1{,}03\,p_n$. La suite $(p_n)$ est géométrique de raison $1{,}03$.

6.2 Terme général

Propriété. Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0\,q^n$, et pour tous entiers $n \geq p$, $u_n = u_p\,q^{n-p}$.

Justification. Pour aller de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$ (on le démontre par récurrence, comme pour les suites arithmétiques).

Exemple 28. Dans l'exemple 27, $p_n = 50\,000 \times 1{,}03^n$. En 2036, la population est $p_{10} = 50\,000 \times 1{,}03^{10} \approx 67\,196$ habitants.

Exemple 29. $(u_n)$ est géométrique, avec $u_1 = 6$ et $u_4 = 162$. Comme $u_4 = u_1\,q^3$, on a $q^3 = 27$, donc $q = 3$. Puis $u_0 = \dfrac{u_1}{q} = 2$, et $u_n = 2 \times 3^n$. Par exemple $u_6 = 1\,458$.

6.3 Sens de variation et représentation

Pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = u_0\,q^{n+1} - u_0\,q^n = u_0\,q^n(q - 1)$. Lorsque $u_0 > 0$ et $q > 0$ :

• si $q > 1$, la suite est strictement croissante ;
• si $0 < q < 1$, elle est strictement décroissante ;
• si $q = 1$, elle est constante.

Si $u_0 < 0$, les sens sont inversés. Si $q < 0$, les termes changent de signe à chaque rang : la suite n'est pas monotone.

Les points $M_n(n\,;u_n)$ ne sont pas alignés. Avec $u_n = 2 \times 3^n$, ils montrent une croissance de plus en plus rapide : on multiplie à chaque pas. Avec $u_n = 8 \times \left(\dfrac12\right)^n$, ils se rapprochent de l'axe des abscisses. Avec $u_n = 8 \times \left(-\dfrac12\right)^n$, les termes placés sur un axe sautent d'un côté à l'autre de $0$, en s'en rapprochant.

6.4 Somme de termes consécutifs

Propriété (formule du programme). Pour tout réel $x$ et tout entier naturel $n$, $\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^n\right)(1 - x) = 1 - x^{n+1}.$ Démonstration. En développant, on obtient $\left(1 + x + \cdots + x^n\right) - \left(x + x^2 + \cdots + x^{n+1}\right)$ : tous les termes se simplifient, sauf $1$ et $-x^{n+1}$.

Conséquence. Pour tout réel $q \neq 1$, $1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.$ Si $q = 1$, la somme vaut $n + 1$.

Propriété. La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q \neq 1$ vaut $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}.$ En effet, $u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n = u_p\left(1 + q + \cdots + q^{n-p}\right) = u_p\,\dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$.

Exemple 30. $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10} = \dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2} = 2^{11} - 1 = 2\,047$.

Exemple 31. Avec $u_n = 2 \times 3^n$ (exemple 29) : $\displaystyle\sum_{k=0}^{5} u_k = 2 \times \frac{1 - 3^6}{1 - 3} = 2 \times \frac{-728}{-2} = 728$. Vérification : $2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728$.

Exemple 32. $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 2\left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}}\right) = 2 - \dfrac{1}{2^n}$.