Sinus x sur x, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires

9.1 Une limite de référence

Les angles sont mesurés en radians.

Propriété (admise). Les fonctions sinus et cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$. En particulier, $\displaystyle\lim_{x \to 0} \sin x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = 1$.

En $0$, $\dfrac{\sin x}{x}$ est une forme $\dfrac00$. Les valeurs suivantes suggèrent sa limite :

Propriété (admise, compétence exigible). $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$ Comme $\dfrac{\sin(-x)}{-x} = \dfrac{\sin x}{x}$, les valeurs sont les mêmes pour $-0{,}5$, $-0{,}1$, $-0{,}01$. Interprétation : pour $x$ proche de $0$, $\sin x$ est très proche de $x$ ; sur le cercle trigonométrique, un petit arc et la demi-corde correspondante ont presque la même longueur.

Exemple 34. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$.

Pour $x \neq 0$, $\dfrac{\sin 3x}{x} = 3 \times \dfrac{\sin 3x}{3x}$. On pose $t = 3x$ : quand $x$ tend vers $0$, $t$ tend vers $0$, et $\dfrac{\sin t}{t}$ tend vers $1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \times 1 = 3$.

Exemple 35. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$.

Pour $x$ proche de $0$ et non nul, $\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{1}{\cos x}$. Le premier facteur tend vers $1$, et $\cos x$ tend vers $1$. Donc la limite vaut $1$.

9.2 Prolongement par continuité

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ sauf en un réel $a$ de $I$. Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell$, avec $\ell$ réel, la fonction $g$ définie sur $I$ par $g(x) = f(x) \ \text{ si } x \neq a, \qquad g(a) = \ell$ est continue en $a$. On l'appelle le prolongement par continuité de $f$ en $a$. Graphiquement, on « bouche le trou » de la courbe.

Si la limite de $f$ en $a$ est infinie, ou si elle n'existe pas, $f$ n'est pas prolongeable par continuité en $a$.

Exemple 36. $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*$, et $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 1$. Elle est prolongeable par continuité en $0$, en posant $g(0) = 1$.

Exemple 37. $h(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1}$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$. Pour $x \neq 1$, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$, donc $h(x) = x + 2$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1} h(x) = 3$. Le prolongement par continuité de $h$ en $1$ est la fonction $x \mapsto x + 2$, définie sur $\mathbb{R}$.

Exemple 38. La fonction inverse n'est pas prolongeable par continuité en $0$ (limites infinies). La fonction $x \mapsto \dfrac{\lvert x\rvert}{x}$ non plus (pas de limite en $0$, exemple 7).

9.3 Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ de $[a\,;b]$ tel que $f(c) = k$.

Justification. L'image $f\big([a\,;b]\big)$ est un intervalle (théorème admis de la leçon 7.4). Elle contient $f(a)$ et $f(b)$, donc tous les réels compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Interprétation graphique. Une courbe tracée sans lever le crayon, qui va de la hauteur $f(a)$ à la hauteur $f(b)$, coupe au moins une fois chaque droite horizontale $y = k$ située entre les deux.

Cas particulier très utilisé. Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[a\,;b]$.

Remarque. Si, de plus, $f$ est strictement monotone sur $[a\,;b]$, deux réels différents ont des images différentes : la solution est alors unique.

Exemple 39. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ a une solution dans $[0\,;1]$.

$f(x) = x^3 + x - 1$ est continue sur $[0\,;1]$ (polynôme), $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. Comme $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$, l'équation $f(x) = 0$ a au moins une solution dans $[0\,;1]$. De plus, $f$ est strictement croissante (somme de $x \mapsto x^3$ et de $x \mapsto x - 1$, strictement croissantes) : la solution est unique.

Comme $f(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ et $f(0{,}75) = 0{,}171875 > 0$, le même théorème, appliqué sur $[0{,}5\,;0{,}75]$, montre que cette solution est comprise entre $0{,}5$ et $0{,}75$.

Attention. La continuité est indispensable. La partie entière vaut $0$ en $0$ et $1$ en $1$, mais aucun réel de $[0\,;1]$ n'a pour image $0{,}5$.

9.4 Un réel de $[m\,;M]$ a un antécédent

Souvent, le tableau de variations d'une fonction continue $f$ sur $[a\,;b]$ montre que $f\big([a\,;b]\big) = [m\,;M]$. Alors tout réel $k$ de $[m\,;M]$ a au moins un antécédent par $f$ dans $[a\,;b]$ : c'est la définition de l'image.

Exemple 40. Soit $f(x) = x^2 - 2x$ sur $[-1\,;3]$. Comme $f(x) = (x - 1)^2 - 1$, $f$ est décroissante sur $[-1\,;1]$ et croissante sur $[1\,;3]$, avec $f(-1) = 3$, $f(1) = -1$ et $f(3) = 3$. Elle est continue, donc $f\big([-1\,;1]\big) = [-1\,;3]$ et $f\big([1\,;3]\big) = [-1\,;3]$, puis $f\big([-1\,;3]\big) = [-1\,;3]$.

Le réel $2$ appartient à $[-1\,;3]$ : il a au moins un antécédent. Plus précisément, il en a un dans $[-1\,;1]$ et un dans $[1\,;3]$, car $f$ est strictement monotone sur chacun de ces intervalles. Ce sont les solutions de $x^2 - 2x - 2 = 0$ : $1 - \sqrt3$ et $1 + \sqrt3$.