Limites et continuité

Leçon 1 : La limite d'une fonction en un point

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Une fonction avec un « trou »

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$. Elle n'est pas définie en $1$, car le dénominateur s'annule. Que se passe-t-il quand $x$ s'approche de $1$ ? Calculons quelques valeurs.

Les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $2$. On le comprend en factorisant : pour $x \neq 1$, $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, donc $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1.$ La courbe de $f$ est la droite d'équation $y = x + 1$, privée du point $(1\,;2)$ : elle a un « trou » en ce point. Quand $x$ s'approche de $1$, le point $M\big(x\,;f(x)\big)$ de la courbe s'approche du point $(1\,;2)$.

1.2 La notion de limite

Définition (approche intuitive, texte du programme). Dire que « la fonction $f$ admet pour limite le nombre réel $\ell$ au point $a$ » signifie que les valeurs de $f(x)$ peuvent être aussi proches de $\ell$ que l'on veut, à condition que les valeurs de $x$ soient suffisamment proches de $a$ en restant différentes de $a$.

Notation. On écrit $\lim_{x \to a} f(x) = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim_a f = \ell.$ On lit : « la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à $\ell$ ».

Avec l'exemple 1.1 : $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$.

Remarques.

• La fonction n'a pas besoin d'être définie en $a$ : dans l'exemple, $f(1)$ n'existe pas. En revanche, elle doit être définie en des points aussi proches de $a$ que l'on veut (par exemple sur un intervalle autour de $a$, sauf peut-être en $a$).
• Les $x$ restent différents de $a$ : si $f(a)$ existe, sa valeur n'intervient pas dans la limite.

Interprétation graphique. $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell$ signifie que, quand $x$ s'approche de $a$, le point $M\big(x\,;f(x)\big)$ de la courbe s'approche du point de coordonnées $(a\,;\ell)$. Si l'on trace une bande horizontale, aussi étroite que l'on veut, autour de la droite $y = \ell$, la partie de la courbe située au-dessus d'un intervalle assez petit autour de $a$ (sauf en $a$) reste dans cette bande.

Propriété (admise). Si une fonction admet une limite en $a$, cette limite est unique.

1.3 Les fonctions usuelles en un point de leur ensemble de définition

Propriété (admise). Soit $f$ une fonction polynôme, une fonction rationnelle (en particulier homographique), ou la fonction racine carrée, et $a$ un réel tel que $f$ soit définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. Alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$ En particulier, pour toute constante $c$, $\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$, et $\displaystyle\lim_{x \to a} x = a$.

Exemple 1. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(x^3 - 3x + 1\right) = 2^3 - 3 \times 2 + 1 = 3$.

Exemple 2. $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{-2 + 1}{-1 - 3} = \frac{-1}{-4} = \frac14$.

Exemple 3. $\displaystyle\lim_{x \to 9} \sqrt{x} = \sqrt9 = 3$.

Pour la racine carrée en $0$, on ne peut s'approcher de $0$ que par la droite : ce cas est traité dans la leçon 2.

1.4 Quand la fonction n'est pas définie en $a$

Si $f$ n'est pas définie en $a$, on ne peut pas remplacer $x$ par $a$. On transforme d'abord l'écriture de $f(x)$, comme dans l'exemple 1.1.

Exemple 4. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$.

En $2$, le numérateur et le dénominateur s'annulent. Comme $2$ est une racine de $x^2 + x - 6$, on factorise par $x - 2$ : $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$. Pour $x \neq 2$, $\frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = x + 3, \qquad \text{donc} \qquad \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = 2 + 3 = 5.$

Cette méthode sera reprise dans la leçon 5.

Leçon 2 : Limite à gauche, limite à droite

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Se rapprocher d'un seul côté

On peut s'approcher de $a$ par des valeurs inférieures à $a$ (à gauche de $a$) ou par des valeurs supérieures à $a$ (à droite de $a$). L'introduction se fait comme pour la limite.

Exemple de la partie entière. On note $E(x)$ la partie entière de $x$ (Seconde) : c'est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.

• Pour $x \in [0\,;1[$, $E(x) = 0$ : quand $x$ tend vers $1$ en restant inférieur à $1$, $E(x)$ tend vers $0$.
• Pour $x \in [1\,;2[$, $E(x) = 1$ : quand $x$ tend vers $1$ en restant supérieur à $1$, $E(x)$ tend vers $1$.

La courbe de $E$ est un « escalier » : en $1$, elle fait un saut.

Définitions et notations.

• Si $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ que l'on veut pour $x$ suffisamment proche de $a$ avec $x < a$, on dit que $f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$, et on écrit $\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} f(x) = \ell, \qquad \lim_{x \to a^-} f(x) = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim_{a^-} f = \ell.$
• De même, avec $x > a$, on parle de limite à droite en $a$ : $\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} f(x) = \ell, \qquad \lim_{x \to a^+} f(x) = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim_{a^+} f = \ell.$

Pour la partie entière : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$.

2.2 Le théorème

Théorème (admis). Si $f$ admet en $a$ une limite à gauche et une limite à droite égales à $\ell$, alors $f$ admet en $a$ une limite égale à $\ell$ : $\text{si} \quad \lim_{a^-} f = \lim_{a^+} f = \ell, \quad \text{alors} \quad \lim_a f = \ell.$

Conséquence. Si $f$ admet une limite $\ell$ en $a$, ses limites à gauche et à droite en $a$ sont égales à $\ell$. Donc, si les limites à gauche et à droite en $a$ sont différentes (ou si l'une d'elles n'existe pas), $f$ n'a pas de limite en $a$.

Exemple 5 (partie entière). $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1$ : ces limites sont différentes, donc $E$ n'a pas de limite en $1$. En revanche, pour $x \in [1\,;2[$, $E(x) = 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1{,}5} E(x) = 1$.

Exemple 6 (fonction définie par morceaux). Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 1$ si $x < 1$ et $f(x) = 3x - 1$ si $x \geq 1$.

• À gauche de $1$, $f(x) = x^2 + 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$.
• À droite de $1$, $f(x) = 3x - 1$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 \times 1 - 1 = 2$.

Les deux limites sont égales à $2$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

Exemple 7. Soit $g(x) = \dfrac{\lvert x\rvert}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$. Pour $x > 0$, $\lvert x\rvert = x$ et $g(x) = 1$ ; pour $x < 0$, $\lvert x\rvert = -x$ et $g(x) = -1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} g(x) = -1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} g(x) = 1$ : $g$ n'a pas de limite en $0$.

Exemple 8 (racine carrée en $0$). La racine carrée n'est définie que pour $x \geq 0$ : en $0$, on ne peut parler que de limite à droite, et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt x = 0$.

Leçon 3 : Limites infinies, limites à l'infini, asymptotes

Voir la vidéo de la leçon 3

Le programme étend la notion de limite à trois nouveaux cas : une limite infinie en un réel $a$, une limite finie en $+\infty$ ou $-\infty$, et une limite infinie en $+\infty$ ou $-\infty$. L'approche reste intuitive.

3.1 Limite infinie en un réel $a$

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.

Les valeurs de $f(x)$ deviennent aussi grandes que l'on veut (plus grandes que n'importe quel nombre fixé à l'avance), à condition que $x$ soit suffisamment proche de $0$. On écrit $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty.$ De même, $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ signifie que $f(x)$ devient négatif et aussi grand que l'on veut en valeur absolue quand $x$ est suffisamment proche de $a$. Par exemple, $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\infty$.

Limites infinies d'un seul côté. Pour la fonction inverse, le signe de $\dfrac1x$ est celui de $x$ : $\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty.$ Ces deux limites sont différentes : la fonction inverse n'a pas de limite en $0$.

3.2 Limite en $+\infty$ ou en $-\infty$

Limite finie. Pour $x = 10$, $100$, $1\,000$, $\dfrac1x$ vaut $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ : $\dfrac1x$ devient aussi proche de $0$ que l'on veut, à condition que $x$ soit assez grand. On écrit $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac1x = 0$. De même, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac1x = 0$.

En général, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ que l'on veut, à condition que $x$ soit assez grand.

Limite infinie. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ : $x^2$ devient aussi grand que l'on veut, à condition que $x$ soit assez grand. De même, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.

3.3 Les fonctions de référence

Propriété (admise). Pour tout entier $n \geq 1$ :

Par exemple : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^4 = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3} = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.

3.4 Asymptotes horizontales et verticales

Définitions.

• Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ (ou seulement à gauche, ou seulement à droite de $a$), la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
• Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$, avec $b$ réel, la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. Même définition en $-\infty$.

Graphiquement, la courbe se rapproche autant que l'on veut de son asymptote, sans forcément la toucher.

Exemple 9. Pour la fonction inverse, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$ : l'axe des ordonnées ($x = 0$) est asymptote verticale. Et $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac1x = 0$ : l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Exemple 10. Soit $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x - 2}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. On a aussi $f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2}$.

D'après le chapitre 1, $\mathcal{C}_f$ est l'image de la courbe de la fonction inverse par la translation de vecteur $\vec u(2\,;1)$ : on décale de $2$ vers la droite et de $1$ vers le haut. Les limites se décalent de la même façon :

• quand $x$ tend vers $2$ à droite, $x - 2$ tend vers $0$ en restant positif, donc $\dfrac{1}{x - 2}$ tend vers $+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ; de même $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ ;
• quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, $\dfrac{1}{x - 2}$ tend vers $0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1$.

La droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale, et la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Remarque. Les asymptotes obliques seront étudiées au chapitre 4 (étude de fonctions).

Leçon 4 : Opérations sur les limites

Voir la vidéo de la leçon 4

Les théorèmes de cette leçon sont admis. Ils sont valables quand $x$ tend vers un réel $a$, vers $a$ à gauche ou à droite, vers $+\infty$ ou vers $-\infty$ : on note simplement « $\lim$ ». Les lettres $\ell$ et $\ell'$ désignent des nombres réels.

4.1 Limite d'une somme

Exemple 11. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 + 3x\right) = +\infty$, car $x^2$ et $3x$ tendent tous les deux vers $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(x^3 + \frac1x\right) = -\infty$, car $x^3$ tend vers $-\infty$ et $\dfrac1x$ tend vers $0$.

4.2 Limite d'un produit

Quand le résultat est infini, son signe se trouve par la règle des signes d'un produit. Par exemple, si $\lim f = -3$ et $\lim g = +\infty$, alors $\lim (f \times g) = -\infty$.

Exemple 12. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2 - \frac1x\right)\left(x^2 + 1\right) = +\infty$, car le premier facteur tend vers $2$ et le second vers $+\infty$.

4.3 Limite d'un quotient

On écrit « $0^+$ » pour une fonction qui tend vers $0$ en restant positive, et « $0^-$ » pour une fonction qui tend vers $0$ en restant négative.

Là encore, le signe d'un résultat infini se trouve par la règle des signes. Quand le dénominateur tend vers $0$, on étudie son signe près du point, souvent avec un tableau de signes.

Exemple 13. Calculer les limites de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ à gauche et à droite en $1$.

Le numérateur tend vers $3$. Le dénominateur $x - 1$ tend vers $0$ : il est positif pour $x > 1$ et négatif pour $x < 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} \frac{2x + 1}{x - 1} = +\infty$ (« $\frac{3}{0^+}$ ») et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} \frac{2x + 1}{x - 1} = -\infty$ (« $\frac{3}{0^-}$ »). La droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

Exemple 14. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 3}{x^2 - 4}$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 3}{x^2 - 4}$.

Le numérateur tend vers $5$. On a $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ ; près de $2$, $x + 2$ est positif, donc $x^2 - 4$ a le signe de $x - 2$. Ainsi $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 3}{x^2 - 4} = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 3}{x^2 - 4} = -\infty$.

4.4 Les quatre formes indéterminées

Dans quatre situations, les théorèmes ne permettent pas de conclure : $\infty - \infty \qquad\quad 0 \times \infty \qquad\quad \frac{\infty}{\infty} \qquad\quad \frac{0}{0}$ (« $\infty - \infty$ » désigne une somme dont un terme tend vers $+\infty$ et l'autre vers $-\infty$.)

Pourquoi « indéterminée » ? Parce que, selon la fonction, le résultat change. En $+\infty$, les trois fonctions suivantes sont toutes de la forme $\infty - \infty$ : $x^2 - x \to +\infty, \qquad x - x^2 \to -\infty, \qquad (x + 1) - x = 1 \to 1.$ « Indéterminée » ne veut pas dire que la limite n'existe pas : cela veut dire qu'il faut transformer l'écriture de la fonction. C'est l'objet de la leçon 5.

4.5 Limite de la racine carrée d'une fonction

Théorème (admis). Soit $u$ une fonction positive au voisinage du point considéré.

• Si $\lim u = \ell$, avec $\ell \geq 0$, alors $\lim \sqrt{u} = \sqrt{\ell}$.
• Si $\lim u = +\infty$, alors $\lim \sqrt u = +\infty$.

Exemple 15. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4 + \frac1x} = \sqrt4 = 2$, car $4 + \dfrac1x$ tend vers $4$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 1} = +\infty$, car $x^2 + 1$ tend vers $+\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to 3} \sqrt{2x + 3} = \sqrt9 = 3$, car $2x + 3$ tend vers $9$.

Leçon 5 : Lever une indétermination

Voir la vidéo de la leçon 5

Face à une forme indéterminée, on transforme l'écriture de la fonction, puis on applique les théorèmes de la leçon 4. Trois méthodes couvrent les cas du programme.

5.1 Polynômes et fonctions rationnelles en $+\infty$ ou en $-\infty$

Exemple 16. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 - 5x\right)$.

C'est une forme $\infty - \infty$. On met en facteur le terme de plus haut degré : pour $x \neq 0$, $x^2 - 5x = x^2\left(1 - \dfrac5x\right)$. Or $x^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac5x \to 1$. Par produit, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 - 5x\right) = +\infty$.

Exemple 17. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 4}$.

C'est une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On met en facteur $x^2$ en haut et en bas : pour $x \neq 0$, $\frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 4} = \frac{x^2\left(3 - \frac1x + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{4}{x^2}\right)} = \frac{3 - \frac1x + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{1} = 3.$

La même factorisation donne, dans tous les cas, la règle suivante.

Propriété. En $+\infty$ et en $-\infty$ :

• un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
• une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemple 18. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(2x^3 - 5x^2 + 1\right) = \lim_{x \to -\infty} 2x^3 = -\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x} = 0$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$.

Attention. Cette règle ne vaut qu'en $+\infty$ et en $-\infty$, jamais en un réel $a$.

5.2 Forme $\frac00$ en un réel $a$ : factoriser par $x - a$

Si le numérateur et le dénominateur d'une fonction rationnelle s'annulent en $a$, alors $a$ est une racine des deux polynômes : on peut les factoriser par $x - a$ (identification, méthode de Horner ou division euclidienne, vues en Seconde), puis simplifier.

Exemple 19. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}$.

En $2$ : $4 - 6 + 2 = 0$ et $4 - 4 = 0$, c'est une forme $\dfrac00$. On factorise : $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ et $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Pour $x \neq 2$ (et $x \neq -2$), $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{x - 1}{x + 2}, \qquad \text{donc} \qquad \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{2 - 1}{2 + 2} = \frac14.$

Exemple 20. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$.

Forme $\dfrac00$. Comme $-1$ est racine de $x^3 + 1$, on factorise : $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ (on le vérifie en développant). Pour $x \neq -1$, $\dfrac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 - x + 1$, donc la limite vaut $1 + 1 + 1 = 3$.

5.3 Avec des racines carrées : l'expression conjuguée

Quand l'indétermination vient d'une différence contenant une racine carrée, on multiplie et on divise par l'expression conjuguée, en utilisant $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Exemple 21. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt x - 2}{x - 4}$.

Forme $\dfrac00$. L'expression conjuguée de $\sqrt x - 2$ est $\sqrt x + 2$. Pour $x \geq 0$ et $x \neq 4$, $\frac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \frac{\left(\sqrt x - 2\right)\left(\sqrt x + 2\right)}{(x - 4)\left(\sqrt x + 2\right)} = \frac{x - 4}{(x - 4)\left(\sqrt x + 2\right)} = \frac{1}{\sqrt x + 2}.$ Donc $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \frac{1}{2 + 2} = \frac14$.

Exemple 22. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right)$.

Forme $\infty - \infty$. Pour $x \geq 0$, $\sqrt{x + 1} - \sqrt x = \frac{(x + 1) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt x}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) = 0$.

5.4 En résumé

Après la transformation, on revient toujours aux théorèmes de la leçon 4.

Leçon 6 : Continuité en un point

Voir la vidéo de la leçon 6

La continuité est une application directe des limites. L'idée : une fonction est continue quand on trace sa courbe sans lever le crayon.

6.1 Définition

Définition. Soit $f$ une fonction et $a$ un réel. On dit que $f$ est continue en $a$ si :

1. $f(a)$ existe ;
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe ;
3. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Interprétation graphique. $f$ est continue en $a$ si, au point d'abscisse $a$, la courbe n'a ni trou, ni saut : on la trace sans lever le crayon de part et d'autre de $a$.

Exemple 23. La fonction carré est continue en $3$ : $\displaystyle\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = 3^2$.

Exemple 24 (deux contre-exemples).

• La partie entière n'est pas continue en $1$ : elle n'a pas de limite en $1$ (exemple 5). La courbe saute.
• Soit $g$ définie par $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ si $x \neq 1$ et $g(1) = 3$. On a $\displaystyle\lim_{x \to 1} g(x) = 2$ (leçon 1), mais $g(1) = 3 \neq 2$ : $g$ n'est pas continue en $1$. Sa courbe est la droite $y = x + 1$ avec un trou en $(1\,;2)$, et un point isolé en $(1\,;3)$.

6.2 Continuité à gauche, continuité à droite

Définitions. $f$ est continue à gauche en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$, et continue à droite en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Propriété. $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, elle est continue à gauche et à droite en $a$. C'est une conséquence du théorème de la leçon 2.

Exemple 25. La partie entière est continue à droite en $1$, car $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} E(x) = 1 = E(1)$. Elle n'est pas continue à gauche en $1$, car $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} E(x) = 0 \neq E(1)$. Elle n'est donc pas continue en $1$.

6.3 Fonctions définies par intervalles

Quand une fonction est définie par des formules différentes sur des intervalles, on étudie sa continuité au point de raccordement : on compare la limite à gauche, la limite à droite et la valeur en ce point.

Exemple 26 (valeur absolue). $\lvert x\rvert = -x$ si $x < 0$ et $\lvert x\rvert = x$ si $x \geq 0$. En $0$ : la limite à gauche vaut $-0 = 0$, la limite à droite vaut $0$, et $\lvert 0\rvert = 0$. La fonction valeur absolue est continue en $0$.

Exemple 27 (avec un paramètre). Soit $m$ un réel, et $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + m$ si $x < 1$ et $f(x) = 2x + 3$ si $x \geq 1$. Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?

• $f(1) = 2 \times 1 + 3 = 5$, et $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = 5$ : $f$ est continue à droite en $1$.
• $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + m$.

$f$ est continue en $1$ si, et seulement si, $1 + m = 5$, c'est-à-dire $m = 4$. Pour une autre valeur de $m$, la courbe fait un saut en $1$.

Leçon 7 : Continuité sur un intervalle

Voir la vidéo de la leçon 7

7.1 Définition

Définition. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Si $I$ contient une borne, par exemple $I = [a\,;b]$, on demande la continuité à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Interprétation graphique. Sur un intervalle où $f$ est continue, on trace la courbe d'un seul trait, sans lever le crayon.

Exemple 28. La fonction inverse est continue sur $]0\,;+\infty[$ et sur $]-\infty\,;0[$. Sa courbe est faite de deux morceaux, car $0$ n'est pas dans son ensemble de définition.

7.2 Les fonctions continues usuelles

Propriété (admise).

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles, en particulier les fonctions homographiques, sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$.

S1 · S3 Les fonctions sinus et cosinus sont aussi continues sur $\mathbb{R}$ (leçon 9).

7.3 Opérations sur les fonctions continues

Propriété (admise). Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.

• $f + g$ et $f \times g$ sont continues sur $I$ ;
• si $g$ ne s'annule pas sur $I$, $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$ ;
• si $f$ est positive sur $I$, $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ (conséquence de la leçon 4.5).

Méthode : justifier qu'une fonction est continue. On reconnaît des fonctions usuelles, reliées par des opérations.

Exemple 29. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ est une fonction rationnelle, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ : elle est continue sur $]-\infty\,;3[$ et sur $]3\,;+\infty[$.

$g(x) = \sqrt{x^2 + 1} + x$ : la fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est un polynôme, continu et positif sur $\mathbb{R}$, donc $x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; on ajoute la fonction $x \mapsto x$, continue. Donc $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

7.4 Image d'un intervalle par une fonction continue

On rappelle (chapitre 1) que l'image $f(I)$ d'un intervalle $I$ est l'ensemble des valeurs $f(x)$ quand $x$ parcourt $I$.

Théorème (admis). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Interprétation graphique. Quand $x$ parcourt $I$, le point de la courbe, tracée sans lever le crayon, a une ordonnée qui parcourt un intervalle « sans trou » de l'axe des ordonnées.

Contre-exemple. La partie entière n'est pas continue sur $[0\,;2]$ : l'image de $[0\,;2]$ est $\{0\,;1\,;2\}$, qui n'est pas un intervalle.

7.5 Déterminer l'image d'un intervalle

Si $f$ est continue et croissante sur $[a\,;b]$, son image $f\big([a\,;b]\big)$ est un intervalle qui contient $f(a)$ et $f(b)$ ; et, pour tout $x$ de $[a\,;b]$, $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$. Donc $f\big([a\,;b]\big) = \big[f(a)\,;f(b)\big].$ De même, si $f$ est continue et décroissante sur $[a\,;b]$, $f\big([a\,;b]\big) = \big[f(b)\,;f(a)\big]$. Si $f$ change de sens de variation, on découpe l'intervalle.