Devoir sur 20 : Limites et continuité

Devoir d'une heure, sur 20 points. Les exercices 1 à 3 sont communs aux séries S1-S3 et S2-S4 ; l'exercice 4 existe en deux versions, une par série. Calculatrice non nécessaire. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (7 points)

Calculer les limites suivantes, en justifiant.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - x + 4}{x^3 + 1}$ (1 point)
$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 3}{x - 1}$ (1 point)
$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ (1 point)
$\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \frac{x + 1}{3 - x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} \frac{x + 1}{3 - x}$ (1,5 point)
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 4} - \sqrt{x}\right)$ (1,5 point)
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x + 1}{4x}}$ (1 point)

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2x^2 + x - 3}{x^2 - 1}$ , et on note $\mathcal{C}$ sa courbe.

Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$ . (0,5 point)
Vérifier que $2x^2 + x - 3 = (x - 1)(2x + 3)$ . En déduire que, pour tout $x \in D$ , $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1}$ . (1 point)
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)$ . La droite d'équation $x = 1$ est-elle une asymptote à $\mathcal{C}$ ? (1 point)
Calculer les limites de $f$ à gauche et à droite en $-1$ . Interpréter graphiquement. (1,5 point)
Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . Interpréter graphiquement. (1 point)

Exercice 3 (4 points)

Soit $a$ un réel. On considère la fonction $f$ définie sur $[-3\,;+\infty[$ par $f(x) = x^2 + ax \ \text{ si } x \leq 1, \qquad f(x) = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} \ \text{ si } x > 1.$

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x)$ . (2 points)
Exprimer $f(1)$ et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x)$ en fonction de $a$ . (0,5 point)
Déterminer $a$ pour que $f$ soit continue en $1$ . (1 point)
Pour cette valeur de $a$ , justifier que $f$ est continue sur $[-3\,;+\infty[$ . (0,5 point)

Exercice 4 (4 points) S1 · S3

Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$ . (1 point)
La fonction $h(x) = \dfrac{\sin 3x}{2x}$ est-elle prolongeable par continuité en $0$ ? Si oui, préciser la valeur à donner en $0$ . (1 point)
Soit $g(x) = x^3 + 3x - 2$ . Montrer que l'équation $g(x) = 0$ a une unique solution dans $[0\,;1]$ , puis, en calculant $g(0{,}5)$ et $g(0{,}75)$ , montrer que cette solution est comprise entre $0{,}5$ et $0{,}75$ . (2 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) En $+\infty$ , quotient des termes de plus haut degré : $\dfrac{2x^3}{x^3} = 2$ . La limite vaut $2$ .

2. (1 pt) $\dfrac{x^2}{x} = x$ , qui tend vers $-\infty$ . La limite vaut $-\infty$ .

3. (1 pt) (0,5 pt) $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ , donc pour $x \neq 2$ le quotient vaut $x + 1$ . (0,5 pt) La limite vaut $3$ .

4. (1,5 pt) (0,5 pt) Le numérateur tend vers $4$ et le dénominateur $3 - x$ tend vers $0$ . (0,5 pt) Pour $x > 3$ , $3 - x < 0$ : $\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \frac{x + 1}{3 - x} = -\infty$ . (0,5 pt) Pour $x < 3$ , $3 - x > 0$ : $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} \frac{x + 1}{3 - x} = +\infty$ .

5. (1,5 pt) (0,5 pt) Forme $\infty - \infty$ ; on utilise l'expression conjuguée. (0,5 pt) $\sqrt{x + 4} - \sqrt x = \dfrac{(x + 4) - x}{\sqrt{x + 4} + \sqrt x} = \dfrac{4}{\sqrt{x + 4} + \sqrt x}$ . (0,5 pt) Le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc la limite vaut $0$ .

6. (1 pt) (0,5 pt) $\dfrac{x + 1}{4x}$ a la limite de $\dfrac{x}{4x} = \dfrac14$ . (0,5 pt) La racine carrée donne $\sqrt{\frac14} = \dfrac12$ .

Exercice 2

1. (0,5 pt) $x^2 - 1 = 0 \iff x = 1$ ou $x = -1$ , donc $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;1\}$ .

2. (1 pt) (0,5 pt) $(x - 1)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3$ . (0,5 pt) Avec $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ , pour $x \in D$ on simplifie par $x - 1 \neq 0$ : $f(x) = \dfrac{2x + 3}{x + 1}$ .

3. (1 pt) (0,5 pt) $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = \frac{2 + 3}{1 + 1} = \frac52$ . (0,5 pt) La limite est réelle : la droite $x = 1$ n'est pas une asymptote ; la courbe a seulement un trou au point $\left(1\,;\frac52\right)$ .

4. (1,5 pt) (0,5 pt) Le numérateur $2x + 3$ tend vers $1$ . (0,5 pt) Pour $x > -1$ , $x + 1 > 0$ : $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$ ; pour $x < -1$ : $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$ . (0,5 pt) La droite d'équation $x = -1$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ .

5. (1 pt) (0,5 pt) En $\pm\infty$ , $f(x)$ a la limite de $\dfrac{2x}{x} = 2$ . (0,5 pt) La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Exercice 3

1. (2 pts) (0,5 pt) Forme $\frac00$ . (1 pt) Avec l'expression conjuguée, pour $x > 1$ : $\dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \dfrac{(x + 3) - 4}{(x - 1)\left(\sqrt{x + 3} + 2\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + 2}$ . (0,5 pt) Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2 + 2} = \frac14$ .

2. (0,5 pt) $f(1) = 1 + a$ , et $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + a$ (polynôme).

3. (1 pt) $f$ est continue en $1$ si, et seulement si, $1 + a = \dfrac14$ , soit $a = -\dfrac34$ .

4. (0,5 pt) Sur $[-3\,;1[$ , $f$ est un polynôme, donc continue. Sur $]1\,;+\infty[$ , c'est un quotient de fonctions continues ( $x + 3 \geq 0$ ) dont le dénominateur ne s'annule pas. Avec la continuité en $1$ , $f$ est continue sur $[-3\,;+\infty[$ .

Exercice 4 S1 · S3

1. (1 pt) $\dfrac{\sin 3x}{2x} = \dfrac32 \times \dfrac{\sin 3x}{3x}$ , et $\dfrac{\sin 3x}{3x} \to 1$ : la limite vaut $\dfrac32$ .

2. (1 pt) La limite en $0$ est un réel, donc $h$ est prolongeable par continuité en $0$ , en posant $h(0) = \dfrac32$ .

3. (2 pts) (0,5 pt) $g$ est continue (polynôme), $g(0) = -2 < 0$ et $g(1) = 2 > 0$ : d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation a au moins une solution dans $[0\,;1]$ . (0,5 pt) Si $0 \leq x_1 < x_2 \leq 1$ , $x_1^3 + 3x_1 < x_2^3 + 3x_2$ : $g$ est strictement croissante, donc la solution est unique. (1 pt) $g(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ et $g(0{,}75) = 0{,}671875 > 0$ : le théorème, appliqué sur $[0{,}5\,;0{,}75]$ , montre que la solution est comprise entre $0{,}5$ et $0{,}75$ .

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1 et 2	O6 Lever une indétermination en $\pm\infty$ (terme de plus haut degré)
Ex. 1, 3	O6 Forme $\frac00$ : factoriser par $x - a$
Ex. 1, 4	O5 Limite d'un quotient dont le dénominateur tend vers $0$ (signe)
Ex. 1, 5	O6 Expression conjuguée
Ex. 1, 6	O5 Limite de la racine carrée d'une fonction
Ex. 2	O2, O4, O6 Limites à gauche et à droite, asymptotes horizontales et verticales
Ex. 3	O7, O8 Continuité en un point d'une fonction définie par intervalles ; O9 continuité sur un intervalle
S1 · S3 Ex. 4	O12, O13, O14 $\frac{\sin x}{x}$ , prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires