La limite d'une fonction en un point

1.1 Une fonction avec un « trou »

Soit $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$. Elle n'est pas définie en $1$, car le dénominateur s'annule. Que se passe-t-il quand $x$ s'approche de $1$ ? Calculons quelques valeurs.

Les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de $2$. On le comprend en factorisant : pour $x \neq 1$, $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$, donc $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1.$ La courbe de $f$ est la droite d'équation $y = x + 1$, privée du point $(1\,;2)$ : elle a un « trou » en ce point. Quand $x$ s'approche de $1$, le point $M\big(x\,;f(x)\big)$ de la courbe s'approche du point $(1\,;2)$.

1.2 La notion de limite

Définition (approche intuitive, texte du programme). Dire que « la fonction $f$ admet pour limite le nombre réel $\ell$ au point $a$ » signifie que les valeurs de $f(x)$ peuvent être aussi proches de $\ell$ que l'on veut, à condition que les valeurs de $x$ soient suffisamment proches de $a$ en restant différentes de $a$.

Notation. On écrit $\lim_{x \to a} f(x) = \ell \qquad \text{ou} \qquad \lim_a f = \ell.$ On lit : « la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est égale à $\ell$ ».

Avec l'exemple 1.1 : $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$.

Remarques.

• La fonction n'a pas besoin d'être définie en $a$ : dans l'exemple, $f(1)$ n'existe pas. En revanche, elle doit être définie en des points aussi proches de $a$ que l'on veut (par exemple sur un intervalle autour de $a$, sauf peut-être en $a$).
• Les $x$ restent différents de $a$ : si $f(a)$ existe, sa valeur n'intervient pas dans la limite.

Interprétation graphique. $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell$ signifie que, quand $x$ s'approche de $a$, le point $M\big(x\,;f(x)\big)$ de la courbe s'approche du point de coordonnées $(a\,;\ell)$. Si l'on trace une bande horizontale, aussi étroite que l'on veut, autour de la droite $y = \ell$, la partie de la courbe située au-dessus d'un intervalle assez petit autour de $a$ (sauf en $a$) reste dans cette bande.

Propriété (admise). Si une fonction admet une limite en $a$, cette limite est unique.

1.3 Les fonctions usuelles en un point de leur ensemble de définition

Propriété (admise). Soit $f$ une fonction polynôme, une fonction rationnelle (en particulier homographique), ou la fonction racine carrée, et $a$ un réel tel que $f$ soit définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. Alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$ En particulier, pour toute constante $c$, $\displaystyle\lim_{x \to a} c = c$, et $\displaystyle\lim_{x \to a} x = a$.

Exemple 1. $\displaystyle\lim_{x \to 2} \left(x^3 - 3x + 1\right) = 2^3 - 3 \times 2 + 1 = 3$.

Exemple 2. $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{-2 + 1}{-1 - 3} = \frac{-1}{-4} = \frac14$.

Exemple 3. $\displaystyle\lim_{x \to 9} \sqrt{x} = \sqrt9 = 3$.

Pour la racine carrée en $0$, on ne peut s'approcher de $0$ que par la droite : ce cas est traité dans la leçon 2.

1.4 Quand la fonction n'est pas définie en $a$

Si $f$ n'est pas définie en $a$, on ne peut pas remplacer $x$ par $a$. On transforme d'abord l'écriture de $f(x)$, comme dans l'exemple 1.1.

Exemple 4. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2}$.

En $2$, le numérateur et le dénominateur s'annulent. Comme $2$ est une racine de $x^2 + x - 6$, on factorise par $x - 2$ : $x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$. Pour $x \neq 2$, $\frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = x + 3, \qquad \text{donc} \qquad \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = 2 + 3 = 5.$

Cette méthode sera reprise dans la leçon 5.