Limites infinies, limites à l'infini, asymptotes

Le programme étend la notion de limite à trois nouveaux cas : une limite infinie en un réel $a$, une limite finie en $+\infty$ ou $-\infty$, et une limite infinie en $+\infty$ ou $-\infty$. L'approche reste intuitive.

3.1 Limite infinie en un réel $a$

Soit $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$, définie sur $\mathbb{R}^*$.

Les valeurs de $f(x)$ deviennent aussi grandes que l'on veut (plus grandes que n'importe quel nombre fixé à l'avance), à condition que $x$ soit suffisamment proche de $0$. On écrit $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty.$ De même, $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ signifie que $f(x)$ devient négatif et aussi grand que l'on veut en valeur absolue quand $x$ est suffisamment proche de $a$. Par exemple, $\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\infty$.

Limites infinies d'un seul côté. Pour la fonction inverse, le signe de $\dfrac1x$ est celui de $x$ : $\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac1x = -\infty.$ Ces deux limites sont différentes : la fonction inverse n'a pas de limite en $0$.

3.2 Limite en $+\infty$ ou en $-\infty$

Limite finie. Pour $x = 10$, $100$, $1\,000$, $\dfrac1x$ vaut $0{,}1$, $0{,}01$, $0{,}001$ : $\dfrac1x$ devient aussi proche de $0$ que l'on veut, à condition que $x$ soit assez grand. On écrit $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac1x = 0$. De même, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac1x = 0$.

En général, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ peut être rendu aussi proche de $\ell$ que l'on veut, à condition que $x$ soit assez grand.

Limite infinie. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ : $x^2$ devient aussi grand que l'on veut, à condition que $x$ soit assez grand. De même, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$.

3.3 Les fonctions de référence

Propriété (admise). Pour tout entier $n \geq 1$ :

Par exemple : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^4 = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3} = -\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$.

3.4 Asymptotes horizontales et verticales

Définitions.

• Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ (ou seulement à gauche, ou seulement à droite de $a$), la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
• Si $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$, avec $b$ réel, la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. Même définition en $-\infty$.

Graphiquement, la courbe se rapproche autant que l'on veut de son asymptote, sans forcément la toucher.

Exemple 9. Pour la fonction inverse, $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac1x = +\infty$ : l'axe des ordonnées ($x = 0$) est asymptote verticale. Et $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac1x = 0$ : l'axe des abscisses ($y = 0$) est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Exemple 10. Soit $f(x) = 1 + \dfrac{1}{x - 2}$, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. On a aussi $f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2}$.

D'après le chapitre 1, $\mathcal{C}_f$ est l'image de la courbe de la fonction inverse par la translation de vecteur $\vec u(2\,;1)$ : on décale de $2$ vers la droite et de $1$ vers le haut. Les limites se décalent de la même façon :

• quand $x$ tend vers $2$ à droite, $x - 2$ tend vers $0$ en restant positif, donc $\dfrac{1}{x - 2}$ tend vers $+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ ; de même $\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ ;
• quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, $\dfrac{1}{x - 2}$ tend vers $0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 1$.

La droite d'équation $x = 2$ est asymptote verticale, et la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Remarque. Les asymptotes obliques seront étudiées au chapitre 4 (étude de fonctions).