Accroissements finis et valeur approchée d'une limite

5.1 La méthode

Hypothèses. $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ stable par $f$, $u_0 \in I$, $\ell \in I$ vérifie $f(\ell) = \ell$, et il existe un réel $k$ tel que $0 \leq k < 1$ et $|f'(x)| \leq k$ pour tout $x \in I$.

1. Pour tout $n$, $u_n$ et $\ell$ sont dans $I$. L'inégalité des accroissements finis (chapitre 2, forme 2) donne $\big|f(u_n) - f(\ell)\big| \leq k\,|u_n - \ell|$, c'est-à-dire $|u_{n+1} - \ell| \leq k\,|u_n - \ell|.$
2. Par récurrence, $|u_n - \ell| \leq k^n\,|u_0 - \ell|$ pour tout $n$. L'initialisation est immédiate ; pour l'hérédité, $|u_{n+1} - \ell| \leq k\,|u_n - \ell| \leq k \times k^n\,|u_0 - \ell|$.
3. Comme $0 \leq k < 1$, $k^n \to 0$. La conséquence du théorème des gendarmes donne $\lim u_n = \ell$.
4. En prime, l'inégalité $|u_n - \ell| \leq k^n\,|u_0 - \ell|$ mesure l'écart entre $u_n$ et $\ell$ : $u_n$ est une valeur approchée de $\ell$ avec une précision connue.

Cette méthode marche que $f$ soit croissante ou décroissante. On l'utilise aussi quand on ne sait pas calculer $\ell$ : on prouve alors son existence avec le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 1).

5.2 Un exemple : le nombre d'or

Exemple 18. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{u_n}$. On pose $f(x) = 1 + \dfrac1x$ et $I = \left[\dfrac32\,;2\right]$.

1. Intervalle stable. $f$ est décroissante sur $I$, donc $f(I) = \left[f(2)\,;f\!\left(\frac32\right)\right] = \left[\dfrac32\,;\dfrac53\right] \subset I$. Comme $u_0 = 2 \in I$, tous les termes sont dans $I$.

2. Point fixe. Pour $x \neq 0$, $x = 1 + \dfrac1x \iff x^2 - x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$. Seul $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ est dans $I$. C'est le nombre d'or.

3. Majoration de la dérivée. $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, donc pour $x \in I$ : $|f'(x)| = \dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{1}{\left(\frac32\right)^2} = \dfrac49$.

4. Inégalités. On a $|u_{n+1} - \varphi| \leq \dfrac49\,|u_n - \varphi|$, puis $|u_n - \varphi| \leq \left(\dfrac49\right)^n |u_0 - \varphi|$. Comme $u_0$ et $\varphi$ sont dans $I$, de longueur $\frac12$, on a $|u_0 - \varphi| \leq \frac12$. Donc $|u_n - \varphi| \leq \frac12\left(\frac49\right)^n.$

5. Limite. $0 \leq \frac49 < 1$, donc $\left(\frac49\right)^n \to 0$ et $\lim u_n = \varphi$.

6. Précision. $\dfrac12\left(\dfrac49\right)^n \leq 10^{-3} \iff \left(\dfrac49\right)^n \leq 2 \times 10^{-3} \iff n \geq \dfrac{\ln 500}{\ln\frac94} \approx 7{,}66$. Pour $n = 8$, $u_8 = \dfrac{89}{55} \approx 1{,}61818$ est donc une valeur approchée de $\varphi$ à $10^{-3}$ près.

Les termes $2, \frac32, \frac53, \frac85, \frac{13}{8}, \ldots$ sont des quotients de nombres consécutifs de la suite de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$. Ils sont alternativement au-dessus et au-dessous de $\varphi$ : c'est l'escargot.