Suites

Leçon 1 : Raisonnement par récurrence, sens de variation

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Ce que tu sais déjà (Première)

Une suite numérique $(u_n)$ associe à chaque entier naturel $n$ un réel $u_n$, appelé terme de rang $n$. On la définit de deux façons :

• de façon explicite, $u_n = f(n)$ : par exemple $u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$. On calcule directement n'importe quel terme ;
• par récurrence, avec $u_0$ donné et $u_{n+1} = f(u_n)$ : par exemple $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Chaque terme se calcule à partir du précédent : $u_1 = 3$, $u_2 = 7$, $u_3 = 15$.

On représente une suite par les points de coordonnées $(n\,;u_n)$, ou par ses termes placés sur un axe.

1.2 Le raisonnement par récurrence

Principe. Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$, et $n_0$ un entier naturel. Si :

1. Initialisation : $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie ;
2. Hérédité : pour tout entier $n \geq n_0$, si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie ;

alors $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

C'est l'image d'une file de dominos : le premier tombe (initialisation), et chaque domino qui tombe fait tomber le suivant (hérédité). Alors tous tombent.

Exemple 1. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. Montrer que $u_n = 2^{n+1} - 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 2^{n+1} - 1$ ».

Initialisation. $u_0 = 1$ et $2^1 - 1 = 1$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}(n)$ est vraie, c'est-à-dire $u_n = 2^{n+1} - 1$. Alors $u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2\left(2^{n+1} - 1\right) + 1 = 2^{n+2} - 1,$ donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 2^{n+1} - 1$.

Exemple 2 (inégalité de Bernoulli). Soit $a$ un réel strictement positif. Montrer que $(1+a)^n \geq 1 + na$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Initialisation. $(1+a)^0 = 1$ et $1 + 0 \times a = 1$ : l'inégalité est vraie pour $n = 0$.

Hérédité. Supposons $(1+a)^n \geq 1 + na$ pour un entier $n$. On multiplie par $1 + a$, qui est strictement positif : $(1+a)^{n+1} \geq (1+na)(1+a) = 1 + (n+1)a + na^2 \geq 1 + (n+1)a,$ car $na^2 \geq 0$. L'inégalité est vraie au rang $n + 1$.

Conclusion. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $(1+a)^n \geq 1 + na$. Ce résultat servira à la leçon 3.

Attention : les deux étapes sont indispensables. Prenons $\mathcal{P}(n)$ : « $10^n + 1$ est divisible par $9$ ». L'hérédité est vraie : si $10^n + 1 = 9k$, alors $10^{n+1} + 1 = 10\left(10^n + 1\right) - 9 = 9(10k - 1)$. Pourtant l'initialisation est fausse ($10^0 + 1 = 2$), et $\mathcal{P}(n)$ est fausse pour tout $n$ : $10^n - 1 = 99\ldots9$ est divisible par $9$, donc $10^n + 1 = \left(10^n - 1\right) + 2$ a pour reste $2$ dans la division par $9$.

1.3 Sens de variation

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$ ; strictement croissante si $u_{n+1} > u_n$ pour tout $n$ ;
• décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$ pour tout $n$ ; strictement décroissante si $u_{n+1} < u_n$ pour tout $n$ ;
• monotone si elle est croissante ou décroissante ; constante si $u_{n+1} = u_n$ pour tout $n$.

Méthodes.

1. Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
2. Si tous les termes sont strictement positifs, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
3. Si $u_n = f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0;+\infty[$, la suite a le même sens de variation que $f$.
4. Pour une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$, on raisonne par récurrence (leçon 4).

Attention. La méthode 3 ne vaut que pour $u_n = f(n)$. Pour $u_{n+1} = f(u_n)$, le sens de variation de $f$ ne donne pas celui de la suite : avec $f(x) = \sqrt{x+2}$, qui est croissante, et $u_0 = 7$, on obtient $u_1 = 3$ et $u_2 = \sqrt5 \approx 2{,}24$ : la suite décroît.

Exemple 3. Étudier le sens de variation de $u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$.

$u_{n+1} - u_n = \frac{3n+4}{n+3} - \frac{3n+1}{n+2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0.$ La suite $(u_n)$ est strictement croissante. Autre méthode : $u_n = f(n)$ avec $f(x) = \dfrac{3x+1}{x+2}$, et $f'(x) = \dfrac{5}{(x+2)^2} > 0$ sur $[0;+\infty[$.

Exemple 4. Étudier le sens de variation de $v_n = \dfrac{n}{2^n}$ pour $n \geq 1$.

Les termes sont strictement positifs et $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}} \times \dfrac{2^n}{n} = \dfrac{n+1}{2n}$. Pour $n \geq 1$, $n + 1 \leq 2n$, donc $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} \leq 1$ : la suite $(v_n)$ est décroissante à partir du rang $1$. (Elle ne l'est pas depuis le rang $0$ : $v_0 = 0 < v_1 = \frac12$.)

1.4 Suites majorées, minorées, bornées, périodiques

Définitions. La suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ;
• minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ;
• bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Une suite croissante est minorée par son premier terme ; une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Exemple 5. On reprend $u_n = \dfrac{3n+1}{n+2}$. On remarque que $u_n = 3 - \dfrac{5}{n+2}$. Comme $\dfrac{5}{n+2} > 0$, on a $u_n < 3$ : la suite est majorée par $3$. Elle est croissante, donc minorée par $u_0 = \frac12$. Ainsi $\dfrac12 \leq u_n < 3$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

Suites périodiques. La suite $(u_n)$ est périodique de période $p$ ($p$ entier naturel non nul) si $u_{n+p} = u_n$ pour tout $n$. Par exemple, $u_n = (-1)^n$ est périodique de période $2$, et $w_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$, qui vaut $1, 0, -1, 0, 1, \ldots$, est périodique de période $4$. Une suite périodique ne prend qu'un nombre fini de valeurs : elle est bornée.

Leçon 2 : Limite d'une suite

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 Suite convergente, suite divergente

On s'intéresse au comportement de $u_n$ quand $n$ devient très grand, ce qu'on écrit « quand $n$ tend vers $+\infty$ ».

Définition. Soit $\ell$ un réel. La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou tend vers $\ell$) si $u_n$ devient aussi proche de $\ell$ qu'on veut dès que $n$ est assez grand. Autrement dit, tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell.$

• Unicité (admise). Si une suite a une limite, cette limite est unique.
• La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $u_n$ dépasse n'importe quel réel $A$ dès que $n$ est assez grand. Même idée pour $-\infty$.
• Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, soit elle n'a pas de limite, comme $\left((-1)^n\right)$, qui vaut alternativement $1$ et $-1$.

Exemple 6. Soit $u_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n \geq 1$. Les termes valent $0$ ; $1{,}5$ ; $0{,}67$ ; $1{,}25$ ; $0{,}8$… Ils se rapprochent de $1$, alternativement par-dessous et par-dessus. Comme $|u_n - 1| = \dfrac1n$, dès que $n > 100$ le terme $u_n$ est à moins de $0{,}01$ de $1$. La suite converge vers $1$.

2.2 Suites définies par $u_n = f(n)$

Propriété (admise). Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, où $\ell$ est un réel, $+\infty$ ou $-\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f(n) = \ell$.

Ainsi, les suites $\frac1n$, $\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{\sqrt n}$ tendent vers $0$ ; les suites $n$, $n^2$, $\sqrt n$, $\ln n$, $e^n$ tendent vers $+\infty$ ; la suite $e^{-n}$ tend vers $0$.

Exemple 7.

• $u_n = \dfrac{2n^2+1}{n^2+3}$ : en $+\infty$, la fonction rationnelle associée a la même limite que $\dfrac{2x^2}{x^2}$, donc $\lim u_n = 2$.
• $v_n = n\,e^{-n}$ : par croissance comparée (chapitre 3), $x\,e^{-x} \to 0$ en $+\infty$, donc $\lim v_n = 0$.
• $w_n = \dfrac{\ln n}{n}$ ($n \geq 1$) : $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ en $+\infty$, donc $\lim w_n = 0$.

Attention, la réciproque est fausse. La suite $u_n = \sin(\pi n)$ vaut $0$ pour tout $n$ : elle converge vers $0$. Pourtant la fonction $x \mapsto \sin(\pi x)$ n'a pas de limite en $+\infty$.

2.3 Opérations sur les limites

Les règles sont les mêmes que pour les fonctions (chapitre 1) : limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une racine carrée. Les quatre formes indéterminées sont les mêmes, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac00$, et on les lève par les mêmes méthodes.

Exemple 8. Calculer la limite de $u_n = \sqrt{n+1} - \sqrt n$.

C'est une forme $\infty - \infty$. On multiplie par l'expression conjuguée : $u_n = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\lim u_n = 0$.

2.4 Théorèmes de comparaison

Ces théorèmes sont admis. Ce sont ceux du chapitre 1, où « pour $x$ assez grand » devient « à partir d'un certain rang ».

Théorème 1 (minoration, majoration).

• Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.

Théorème 2 (théorème des gendarmes). Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang, et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le même réel $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

Conséquence. Si $|u_n - \ell| \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = 0$, alors $\lim u_n = \ell$.

Théorème 3 (passage à la limite dans une inégalité). Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\ell$ et $\ell'$, alors $\ell \leq \ell'$. En particulier, si $a \leq u_n \leq b$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $a \leq \ell \leq b$.

Attention. Les inégalités strictes deviennent larges à la limite : $\frac1n > 0$ pour tout $n \geq 1$, et pourtant $\lim \frac1n = 0$.

Exemple 9.

• $u_n = n + (-1)^n$ : comme $(-1)^n \geq -1$, on a $u_n \geq n - 1$, et $n - 1 \to +\infty$. Par le théorème 1, $\lim u_n = +\infty$.
• $v_n = 2 + \dfrac{\cos n}{n}$ ($n \geq 1$) : $|v_n - 2| = \dfrac{|\cos n|}{n} \leq \dfrac1n$, et $\frac1n \to 0$. Par la conséquence du théorème 2, $\lim v_n = 2$.

2.5 Suites monotones

Théorème (admis).

• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.

Si $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n \leq \ell$ pour tout $n$, et $\ell$ est inférieur ou égal à tout majorant de la suite (théorème 3).

Propriété. Une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$. Une suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$.

Démonstration du premier point. Soit $A$ un réel. La suite n'est pas majorée par $A$, donc il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$. Comme elle est croissante, $u_n \geq u_N > A$ pour tout $n \geq N$. Tous les termes dépassent $A$ à partir du rang $N$.

Attention. Le théorème affirme que la suite converge, sans donner sa limite. Un majorant n'est pas forcément la limite : $u_n = 1 - \frac1n$ est croissante et majorée par $5$, mais sa limite est $1$.

Exemple 10. Soit $S_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ pour $n \geq 1$.

Sens de variation. $S_{n+1} - S_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} > 0$ : la suite est strictement croissante.

Majoration. Montrons par récurrence que $S_n \leq 2 - \dfrac1n$ pour tout $n \geq 1$. Pour $n = 1$ : $S_1 = 1 = 2 - 1$. Si $S_n \leq 2 - \frac1n$, alors $S_{n+1} = S_n + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac1n + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2 - \frac{1}{n+1},$ car $\dfrac1n - \dfrac{1}{n+1} = \dfrac{1}{n(n+1)} \geq \dfrac{1}{(n+1)^2}$.

Conclusion. $S_n \leq 2$ pour tout $n$. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell \leq 2$. Sa valeur exacte, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645$, est hors de portée du programme.

Leçon 3 : Suites arithmétiques et géométriques

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Suites arithmétiques (rappels)

Définition. $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$.

Exemple 11. $(u_n)$ est arithmétique, avec $u_0 = 5$ et $r = 3$. Alors $u_n = 5 + 3n$ et $u_{20} = 65$. La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ compte $21$ termes : $S = 21 \times \frac{5 + 65}{2} = 735.$

3.2 Suites géométriques (rappels)

Définition. $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si $u_{n+1} = q\,u_n$ pour tout $n$.

La formule de la somme vient de l'identité de Première : $\left(1 + q + \cdots + q^n\right)(1 - q) = 1 - q^{n+1}$.

Exemple 12. $(u_n)$ est géométrique, avec $u_2 = 12$ et $u_5 = 96$. Comme $u_5 = u_2\,q^3$, on a $q^3 = 8$, donc $q = 2$, puis $u_0 = \dfrac{u_2}{q^2} = 3$ et $u_n = 3 \times 2^n$. La somme des dix premiers termes vaut $u_0 + u_1 + \cdots + u_9 = 3 \times \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3 \times 1023 = 3069.$

3.3 Limite de $q^n$

Théorème. Soit $q$ un réel.

Démonstration.

• Si $q > 1$, on écrit $q = 1 + a$ avec $a > 0$. L'inégalité de Bernoulli (exemple 2) donne $q^n \geq 1 + na$. Comme $1 + na \to +\infty$, le théorème 1 donne $q^n \to +\infty$.
• Si $-1 < q < 1$ et $q \neq 0$, on a $\frac{1}{|q|} > 1$, donc $\left(\frac{1}{|q|}\right)^n \to +\infty$ et $|q^n - 0| = |q|^n = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{|q|}\right)^n} \to 0$. La conséquence du théorème 2 donne $q^n \to 0$. Le cas $q = 0$ est immédiat.
• Si $q = 1$, la suite est constante, égale à $1$.
• Si $q \leq -1$, les termes sont alternativement supérieurs ou égaux à $1$ et inférieurs ou égaux à $-1$ : la suite n'a pas de limite.

Conséquence. Si $-1 < q < 1$, alors $1 + q + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ tend vers $\dfrac{1}{1-q}$.

Exemple 13.

• $(0{,}9)^n \to 0$ et $\left(-\frac12\right)^n \to 0$, tandis que $(1{,}01)^n \to +\infty$ : même une raison à peine plus grande que $1$ finit par dépasser tout nombre.
• $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \cdots + \dfrac{1}{2^n} = \dfrac{1 - \left(\frac12\right)^{n+1}}{1 - \frac12} = 2 - \dfrac{1}{2^n}$, qui tend vers $2$.

3.4 Suites définies par $u_{n+1} = a\,u_n + b$

On suppose $a \neq 1$ (sinon la suite est arithmétique) et $a \neq 0$.

Méthode.

1. On cherche le réel $\alpha$ tel que $\alpha = a\alpha + b$, c'est-à-dire $\alpha = \dfrac{b}{1-a}$.
2. On pose $v_n = u_n - \alpha$. Alors $v_{n+1} = (a\,u_n + b) - (a\alpha + b) = a(u_n - \alpha) = a\,v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$.
3. Donc $v_n = v_0\,a^n$, puis $u_n = \alpha + (u_0 - \alpha)\,a^n$.
4. Si $-1 < a < 1$, alors $a^n \to 0$ et $\lim u_n = \alpha$.

Exemple 14 (un modèle simplifié). Un malade reçoit chaque jour, à la même heure, une injection de $4$ mg d'un médicament. En $24$ heures, son organisme élimine $20\,\%$ de la quantité présente. On note $u_n$ la quantité de médicament, en mg, présente juste après la $(n+1)$-ième injection. Ainsi $u_0 = 4$ et $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 4$.

1. $\alpha = 0{,}8\,\alpha + 4 \iff 0{,}2\,\alpha = 4 \iff \alpha = 20$.
2. $v_n = u_n - 20$ définit une suite géométrique de raison $0{,}8$, avec $v_0 = 4 - 20 = -16$.
3. Donc $v_n = -16 \times 0{,}8^n$ et $u_n = 20 - 16 \times 0{,}8^n$.
4. Comme $0 < 0{,}8 < 1$, $0{,}8^n \to 0$ et $\lim u_n = 20$ : la quantité se stabilise vers $20$ mg, sans jamais l'atteindre.
5. À partir de quel rang a-t-on $u_n \geq 19$ ? $u_n \geq 19 \iff 16 \times 0{,}8^n \leq 1 \iff n\ln 0{,}8 \leq -\ln 16 \iff n \geq \dfrac{\ln 16}{-\ln 0{,}8} \approx 12{,}4$, car $\ln 0{,}8 < 0$. C'est donc à partir de $n = 13$, c'est-à-dire de la $14^{\text{e}}$ injection.

Leçon 4 : Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Définition et représentation graphique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ tel que $f(I) \subset I$ (on dit que $I$ est stable par $f$). Si $u_0 \in I$, une récurrence immédiate montre que tous les termes $u_n$ sont définis et appartiennent à $I$.

Représentation graphique. Dans un repère orthonormé, on trace la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

1. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. Le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $u_0$ a pour ordonnée $u_1 = f(u_0)$.
3. On rejoint horizontalement la droite $\Delta$ : le point de $\Delta$ d'ordonnée $u_1$ a pour abscisse $u_1$. On reporte ainsi $u_1$ sur l'axe des abscisses.
4. On recommence à partir de $u_1$.

On obtient un escalier quand $f$ est croissante, un escargot (une spirale) quand $f$ est décroissante. Le dessin, comme un tableau de valeurs à la calculatrice, permet de conjecturer le sens de variation et la limite éventuelle. Une conjecture doit ensuite être démontrée.

Exemple 15. $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $u_0 = 0$. On trouve $u_1 = \sqrt2 \approx 1{,}414$, $u_2 = \sqrt{2 + \sqrt2} \approx 1{,}848$, $u_3 \approx 1{,}962$, $u_4 \approx 1{,}990$. L'escalier monte vers le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $\Delta$, d'abscisse $2$. On conjecture que $(u_n)$ est croissante et converge vers $2$.

4.2 Image d'une suite convergente par une fonction continue

Théorème (admis). Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.

Exemple 16.

• $\frac1n \to 0$ et $\exp$ est continue en $0$, donc $e^{\frac1n} \to e^0 = 1$.
• $4 + \frac{1}{n^2} \to 4$ et la racine carrée est continue en $4$, donc $\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}} \to 2$.
• $2 + \left(\frac12\right)^n \to 2$ et $\ln$ est continue en $2$, donc $\ln\left(2 + \left(\frac12\right)^n\right) \to \ln 2$.

4.3 La limite est un point fixe

Théorème. Si $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell.$

Démonstration. La suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang : elle converge aussi vers $\ell$. D'après 4.2, $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1}$. Par unicité de la limite, $f(\ell) = \ell$.

Attention. Ce théorème ne prouve pas que la suite converge : il donne seulement les limites possibles. Par exemple, avec $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$, le seul point fixe de $x \mapsto 2x$ est $0$, et pourtant $u_n = 2^n \to +\infty$.

4.4 Méthode d'étude quand $f$ est croissante

1. Bornes. On montre par récurrence que $a \leq u_n \leq b$ pour tout $n$. Comme $f$ est croissante, $a \leq u_n \leq b$ donne $f(a) \leq u_{n+1} \leq f(b)$.
2. Sens de variation. On montre par récurrence que $u_n \leq u_{n+1}$ pour tout $n$ si $u_0 \leq u_1$ (ou $u_n \geq u_{n+1}$ si $u_0 \geq u_1$). L'hérédité vient de la croissance de $f$.
3. Convergence. La suite est monotone et bornée : elle converge.
4. Limite. Sa limite $\ell$ vérifie $a \leq \ell \leq b$ (théorème 3) et $f(\ell) = \ell$ (si $f$ est continue) : on résout cette équation.

Exemple 17. Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. La fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ est continue et croissante sur $[-2;+\infty[$.

1. Bornes. On note $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leq u_n \leq 2$ ». $\mathcal{P}(0)$ est vraie. Si $0 \leq u_n \leq 2$, alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ et, la racine carrée étant croissante, $\sqrt2 \leq u_{n+1} \leq 2$. Donc $0 \leq u_{n+1} \leq 2$.

2. Sens de variation. On note $\mathcal{Q}(n)$ : « $u_n \leq u_{n+1}$ ». $\mathcal{Q}(0)$ est vraie : $u_0 = 0 \leq \sqrt2 = u_1$. Si $u_n \leq u_{n+1}$, alors, $f$ étant croissante, $f(u_n) \leq f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2}$. La suite est croissante.

3. Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ tel que $0 \leq \ell \leq 2$.

4. Limite. $f$ est continue en $\ell$, donc $\sqrt{\ell + 2} = \ell$. Alors $\ell + 2 = \ell^2$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Comme $\ell \geq 0$, on rejette $-1$ : $\lim u_n = 2$.

Remarque. Si $f$ est décroissante sur $I$, la suite n'est en général pas monotone : ses termes sont alternativement d'un côté et de l'autre de la limite (l'escargot). On utilise alors la méthode de la leçon 5.

Leçon 5 : Accroissements finis et valeur approchée d'une limite

Voir la vidéo de la leçon 5

5.1 La méthode

Hypothèses. $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ stable par $f$, $u_0 \in I$, $\ell \in I$ vérifie $f(\ell) = \ell$, et il existe un réel $k$ tel que $0 \leq k < 1$ et $|f'(x)| \leq k$ pour tout $x \in I$.

1. Pour tout $n$, $u_n$ et $\ell$ sont dans $I$. L'inégalité des accroissements finis (chapitre 2, forme 2) donne $\big|f(u_n) - f(\ell)\big| \leq k\,|u_n - \ell|$, c'est-à-dire $|u_{n+1} - \ell| \leq k\,|u_n - \ell|.$
2. Par récurrence, $|u_n - \ell| \leq k^n\,|u_0 - \ell|$ pour tout $n$. L'initialisation est immédiate ; pour l'hérédité, $|u_{n+1} - \ell| \leq k\,|u_n - \ell| \leq k \times k^n\,|u_0 - \ell|$.
3. Comme $0 \leq k < 1$, $k^n \to 0$. La conséquence du théorème des gendarmes donne $\lim u_n = \ell$.
4. En prime, l'inégalité $|u_n - \ell| \leq k^n\,|u_0 - \ell|$ mesure l'écart entre $u_n$ et $\ell$ : $u_n$ est une valeur approchée de $\ell$ avec une précision connue.

Cette méthode marche que $f$ soit croissante ou décroissante. On l'utilise aussi quand on ne sait pas calculer $\ell$ : on prouve alors son existence avec le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 1).

5.2 Un exemple : le nombre d'or

Exemple 18. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{u_n}$. On pose $f(x) = 1 + \dfrac1x$ et $I = \left[\dfrac32\,;2\right]$.

1. Intervalle stable. $f$ est décroissante sur $I$, donc $f(I) = \left[f(2)\,;f\!\left(\frac32\right)\right] = \left[\dfrac32\,;\dfrac53\right] \subset I$. Comme $u_0 = 2 \in I$, tous les termes sont dans $I$.

2. Point fixe. Pour $x \neq 0$, $x = 1 + \dfrac1x \iff x^2 - x - 1 = 0 \iff x = \dfrac{1 \pm \sqrt5}{2}$. Seul $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1{,}618$ est dans $I$. C'est le nombre d'or.

3. Majoration de la dérivée. $f'(x) = -\dfrac{1}{x^2}$, donc pour $x \in I$ : $|f'(x)| = \dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{1}{\left(\frac32\right)^2} = \dfrac49$.

4. Inégalités. On a $|u_{n+1} - \varphi| \leq \dfrac49\,|u_n - \varphi|$, puis $|u_n - \varphi| \leq \left(\dfrac49\right)^n |u_0 - \varphi|$. Comme $u_0$ et $\varphi$ sont dans $I$, de longueur $\frac12$, on a $|u_0 - \varphi| \leq \frac12$. Donc $|u_n - \varphi| \leq \frac12\left(\frac49\right)^n.$

5. Limite. $0 \leq \frac49 < 1$, donc $\left(\frac49\right)^n \to 0$ et $\lim u_n = \varphi$.

6. Précision. $\dfrac12\left(\dfrac49\right)^n \leq 10^{-3} \iff \left(\dfrac49\right)^n \leq 2 \times 10^{-3} \iff n \geq \dfrac{\ln 500}{\ln\frac94} \approx 7{,}66$. Pour $n = 8$, $u_8 = \dfrac{89}{55} \approx 1{,}61818$ est donc une valeur approchée de $\varphi$ à $10^{-3}$ près.