Suites

1. Question 1 sur 19Dans un raisonnement par récurrence, l'hérédité consiste à montrer que

   A $\mathcal{P}(0)$ est vraie B si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie C $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie pour tout $n$ D $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour $n$ assez grand

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   Réponse B. L'initialisation montre que la propriété est vraie au premier rang ; l'hérédité montre qu'elle se transmet d'un rang au suivant.

2. Question 2 sur 19La suite définie par $u_n = 5 - \dfrac{2}{n+1}$ est

   A strictement croissante B strictement décroissante C constante D non monotone

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   Réponse A. $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{n+1} - \dfrac{2}{n+2} = \dfrac{2}{(n+1)(n+2)} > 0$ .

3. Question 3 sur 19La suite définie par $u_n = (-1)^n + 3$

   A est croissante B est minorée par $2$ et majorée par $4$ C converge vers $3$ D tend vers $+\infty$

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   Réponse B. Elle vaut alternativement $4$ et $2$ : elle est bornée, mais n'est ni monotone ni convergente.

4. Question 4 sur 19$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{2n^2 - 1}{n^2 + n} =$

   A $0$ B $+\infty$ C $2$ D $-1$

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   Réponse C. On garde les termes de plus haut degré : $\frac{2n^2}{n^2} = 2$ .

5. Question 5 sur 19$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{3n + \cos n}{n} =$

   A $3$ B $4$ C la suite n'a pas de limite D $+\infty$

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   Réponse A. $\frac{3n + \cos n}{n} = 3 + \frac{\cos n}{n}$ , et $\left|\frac{\cos n}{n}\right| \leq \frac1n \to 0$ .

6. Question 6 sur 19Une suite croissante et majorée par $5$

   A converge vers $5$ B converge vers un réel inférieur ou égal à $5$ C tend vers $+\infty$ D peut ne pas avoir de limite

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   Réponse B. Elle converge, et sa limite est inférieure ou égale à tout majorant. Elle n'est pas forcément égale à $5$ : $1 - \frac1n$ est majorée par $5$ et tend vers $1$ .

7. Question 7 sur 19$(u_n)$ est arithmétique, avec $u_0 = 2$ et de raison $3$ . Alors $u_{10} =$

   A $30$ B $35$ C $2 \times 3^{10}$ D $32$

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   Réponse D. $u_{10} = u_0 + 10r = 2 + 30 = 32$ . La réponse C confond avec une suite géométrique.

8. Question 8 sur 19$1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^9 =$

   A $1023$ B $1024$ C $512$ D $2047$

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   Réponse A. $\dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 2^{10} - 1 = 1023$ .

9. Question 9 sur 19La suite $\left((-0{,}8)^n\right)$

   A tend vers $0$ B n'a pas de limite C tend vers $-\infty$ D est croissante

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   Réponse A. $-1 < -0{,}8 < 1$ , donc $(-0{,}8)^n \to 0$ , même si les termes changent de signe à chaque rang.

10. Question 10 sur 19$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$ . La limite de $(u_n)$ est

    A $3$ B $0$ C $6$ D $+\infty$

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    Réponse C. $\alpha = 0{,}5\,\alpha + 3$ donne $\alpha = 6$ , et $u_n = 6 - 6 \times 0{,}5^n \to 6$ .

11. Question 11 sur 19On admet que la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ converge. Sa limite est

    A $3$ B $-2$ C $6$ D $\sqrt6$

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    Réponse A. La limite $\ell$ vérifie $\sqrt{\ell + 6} = \ell$ , donc $\ell^2 - \ell - 6 = 0$ et $\ell \geq 0$ : $\ell = 3$ .

12. Question 12 sur 19$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} e^{\frac1n} =$

    A $0$ B $e$ C $+\infty$ D $1$

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    Réponse D. $\frac1n \to 0$ et $\exp$ est continue en $0$ : la limite vaut $e^0 = 1$ .

13. Question 13 sur 19$u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ . Alors

    A $(u_n)$ converge vers $-1$ B $(u_n)$ tend vers $+\infty$ C $(u_n)$ converge vers $0$ D $(u_n)$ est décroissante

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    Réponse B. $u_n = 2^{n+1} - 1 \to +\infty$ . Le point fixe $-1$ de $x \mapsto 2x + 1$ n'est pas la limite : le théorème du point fixe ne s'applique que si la suite converge.

14. Question 14 sur 19Si $|u_n - 2| \leq 0{,}5^n$ pour tout $n$ , alors

    A $\lim u_n = 2$ B $\lim u_n = 0{,}5$ C on ne peut pas conclure D $\lim u_n = 0$

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    Réponse A. $0{,}5^n \to 0$ : c'est la conséquence du théorème des gendarmes.

15. Question 15 sur 19Si $|u_n - \ell| \leq 0{,}5^n$ pour tout $n$ , pour être sûr que $|u_n - \ell| \leq 10^{-3}$ , il suffit de prendre

    A $n \geq 3$ B $n \geq 500$ C $n \geq 10$ D $n \geq 1000$

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    Réponse C. $0{,}5^{10} = \frac{1}{1024} < 10^{-3}$ , alors que $0{,}5^{9} = \frac{1}{512} > 10^{-3}$ .

16. Question 16 sur 19$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{n^3}{2^n} =$

    A $1$ B $+\infty$ C $0$ D la suite n'a pas de limite

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    Réponse C. Croissance comparée : $a^n$ l'emporte sur toute puissance de $n$ quand $a > 1$ .

17. Question 17 sur 19À partir d'un certain rang, on a

    A $\ln n \leq n^2 \leq 1{,}1^n$ B $1{,}1^n \leq n^2 \leq \ln n$ C $n^2 \leq \ln n \leq 1{,}1^n$ D $\ln n \leq 1{,}1^n \leq n^2$

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    Réponse A. C'est la hiérarchie $\ln n \ll n^\alpha \ll a^n$ . Attention, il faut attendre longtemps : $1{,}1^n$ ne reste au-dessus de $n^2$ qu'à partir de $n = 96$ .

18. Question 18 sur 19$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac1n\right)^n =$

    A $1$ B $e$ C $+\infty$ D $0$

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    Réponse B. $\left(1 + \frac1n\right)^n = e^{n\ln\left(1 + \frac1n\right)}$ et l'exposant tend vers $1$ . La réponse A vient d'un raisonnement faux : « $1$ puissance quelque chose égale $1$ ».

19. Question 19 sur 19$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n\sin\frac1n =$

    A $0$ B $+\infty$ C la suite n'a pas de limite D $1$

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    Réponse D. $n\sin\frac1n = \dfrac{\sin X}{X}$ avec $X = \frac1n \to 0$ , et $\dfrac{\sin X}{X} \to 1$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.