Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$

4.1 Définition et représentation graphique

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ tel que $f(I) \subset I$ (on dit que $I$ est stable par $f$). Si $u_0 \in I$, une récurrence immédiate montre que tous les termes $u_n$ sont définis et appartiennent à $I$.

Représentation graphique. Dans un repère orthonormé, on trace la courbe $\mathcal{C}_f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

1. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. Le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $u_0$ a pour ordonnée $u_1 = f(u_0)$.
3. On rejoint horizontalement la droite $\Delta$ : le point de $\Delta$ d'ordonnée $u_1$ a pour abscisse $u_1$. On reporte ainsi $u_1$ sur l'axe des abscisses.
4. On recommence à partir de $u_1$.

On obtient un escalier quand $f$ est croissante, un escargot (une spirale) quand $f$ est décroissante. Le dessin, comme un tableau de valeurs à la calculatrice, permet de conjecturer le sens de variation et la limite éventuelle. Une conjecture doit ensuite être démontrée.

Exemple 15. $f(x) = \sqrt{x+2}$ et $u_0 = 0$. On trouve $u_1 = \sqrt2 \approx 1{,}414$, $u_2 = \sqrt{2 + \sqrt2} \approx 1{,}848$, $u_3 \approx 1{,}962$, $u_4 \approx 1{,}990$. L'escalier monte vers le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $\Delta$, d'abscisse $2$. On conjecture que $(u_n)$ est croissante et converge vers $2$.

4.2 Image d'une suite convergente par une fonction continue

Théorème (admis). Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.

Exemple 16.

• $\frac1n \to 0$ et $\exp$ est continue en $0$, donc $e^{\frac1n} \to e^0 = 1$.
• $4 + \frac{1}{n^2} \to 4$ et la racine carrée est continue en $4$, donc $\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}} \to 2$.
• $2 + \left(\frac12\right)^n \to 2$ et $\ln$ est continue en $2$, donc $\ln\left(2 + \left(\frac12\right)^n\right) \to \ln 2$.

4.3 La limite est un point fixe

Théorème. Si $u_{n+1} = f(u_n)$ pour tout $n$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell.$

Démonstration. La suite $(u_{n+1})$ est la suite $(u_n)$ décalée d'un rang : elle converge aussi vers $\ell$. D'après 4.2, $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$. Or $f(u_n) = u_{n+1}$. Par unicité de la limite, $f(\ell) = \ell$.

Attention. Ce théorème ne prouve pas que la suite converge : il donne seulement les limites possibles. Par exemple, avec $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n$, le seul point fixe de $x \mapsto 2x$ est $0$, et pourtant $u_n = 2^n \to +\infty$.

4.4 Méthode d'étude quand $f$ est croissante

1. Bornes. On montre par récurrence que $a \leq u_n \leq b$ pour tout $n$. Comme $f$ est croissante, $a \leq u_n \leq b$ donne $f(a) \leq u_{n+1} \leq f(b)$.
2. Sens de variation. On montre par récurrence que $u_n \leq u_{n+1}$ pour tout $n$ si $u_0 \leq u_1$ (ou $u_n \geq u_{n+1}$ si $u_0 \geq u_1$). L'hérédité vient de la croissance de $f$.
3. Convergence. La suite est monotone et bornée : elle converge.
4. Limite. Sa limite $\ell$ vérifie $a \leq \ell \leq b$ (théorème 3) et $f(\ell) = \ell$ (si $f$ est continue) : on résout cette équation.

Exemple 17. Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. La fonction $f(x) = \sqrt{x+2}$ est continue et croissante sur $[-2;+\infty[$.

1. Bornes. On note $\mathcal{P}(n)$ : « $0 \leq u_n \leq 2$ ». $\mathcal{P}(0)$ est vraie. Si $0 \leq u_n \leq 2$, alors $2 \leq u_n + 2 \leq 4$ et, la racine carrée étant croissante, $\sqrt2 \leq u_{n+1} \leq 2$. Donc $0 \leq u_{n+1} \leq 2$.

2. Sens de variation. On note $\mathcal{Q}(n)$ : « $u_n \leq u_{n+1}$ ». $\mathcal{Q}(0)$ est vraie : $u_0 = 0 \leq \sqrt2 = u_1$. Si $u_n \leq u_{n+1}$, alors, $f$ étant croissante, $f(u_n) \leq f(u_{n+1})$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leq u_{n+2}$. La suite est croissante.

3. Convergence. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ tel que $0 \leq \ell \leq 2$.

4. Limite. $f$ est continue en $\ell$, donc $\sqrt{\ell + 2} = \ell$. Alors $\ell + 2 = \ell^2$, soit $(\ell - 2)(\ell + 1) = 0$. Comme $\ell \geq 0$, on rejette $-1$ : $\lim u_n = 2$.

Remarque. Si $f$ est décroissante sur $I$, la suite n'est en général pas monotone : ses termes sont alternativement d'un côté et de l'autre de la limite (l'escargot). On utilise alors la méthode de la leçon 5.