Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite

3.1 Définitions

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $x_0$.

• Si le taux d'accroissement de $f$ en $x_0$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ en restant négatif (c'est-à-dire quand $x$ tend vers $x_0$ par la gauche), on dit que $f$ est dérivable à gauche en $x_0$. Cette limite est le nombre dérivé à gauche, noté $f'_g(x_0)$ : $f'_g(x_0) = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ x < x_0}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$
• De même, avec $h > 0$ (ou $x > x_0$), on définit la dérivabilité à droite et le nombre dérivé à droite $f'_d(x_0)$.

3.2 Les deux théorèmes

Soit $f$ une fonction dérivable à gauche et à droite en $x_0$.

Théorème 1. Si les nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux à un même réel $\ell$, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = \ell$.

Théorème 2. Si les nombres dérivés à gauche et à droite sont différents, alors $f$ n'est pas dérivable en $x_0$.

Le théorème 1 vient de celui du chapitre 2 sur les limites à gauche et à droite : si elles sont égales à $\ell$, la limite existe et vaut $\ell$.

3.3 Demi-tangentes, point anguleux

Si $f$ est dérivable à droite en $x_0$, la courbe admet au point $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ une demi-tangente à droite : c'est la demi-droite d'origine $A$ et de coefficient directeur $f'_d(x_0)$, d'équation $y = f'_d(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0), \qquad x \geq x_0.$ De même, la demi-tangente à gauche a pour équation $y = f'_g(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)$, avec $x \leq x_0$.

Si $f'_g(x_0) \neq f'_d(x_0)$, la courbe a en $A$ deux demi-tangentes qui ne sont pas dans le prolongement l'une de l'autre : on dit que $A$ est un point anguleux de la courbe. La courbe y fait un « coin ».

Exemple 13 (valeur absolue en 0). Soit $f(x) = |x|$. Pour $h \neq 0$, $\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h|}{h}$.

• Si $h > 0$, ce taux vaut $1$ : $f'_d(0) = 1$.
• Si $h < 0$, il vaut $-1$ : $f'_g(0) = -1$.

Les deux nombres sont différents : la valeur absolue n'est pas dérivable en $0$. L'origine est un point anguleux ; les demi-tangentes sont portées par les droites $y = x$ (pour $x \geq 0$) et $y = -x$ (pour $x \leq 0$). Pourtant, la valeur absolue est continue en $0$ : c'est le contre-exemple annoncé à la leçon 1.

Exemple 14 (point anguleux). Soit $g$ définie par $g(x) = x^2$ si $x \leq 1$ et $g(x) = -x + 2$ si $x > 1$. On a $g(1) = 1$.

• À gauche de $1$ ($x < 1$) : $\dfrac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$, qui tend vers $2$. Donc $g'_g(1) = 2$.
• À droite de $1$ ($x > 1$) : $\dfrac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \dfrac{-x + 2 - 1}{x - 1} = \dfrac{-(x - 1)}{x - 1} = -1$. Donc $g'_d(1) = -1$.

Les nombres dérivés sont différents : $g$ n'est pas dérivable en $1$, et $A(1\,;1)$ est un point anguleux. Demi-tangente à gauche : $y = 2(x - 1) + 1$, soit $y = 2x - 1$ pour $x \leq 1$. Demi-tangente à droite : $y = -(x - 1) + 1$, soit $y = -x + 2$ pour $x \geq 1$.

Exemple 15 (raccordement sans coin). Soit $f$ définie par $f(x) = x^2$ si $x \leq 1$ et $f(x) = 2x - 1$ si $x > 1$. On a $f(1) = 1$. À gauche, le taux vaut $x + 1$, qui tend vers $2$. À droite, il vaut $\dfrac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2$. Donc $f'_g(1) = f'_d(1) = 2$ : $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$. Les deux morceaux se raccordent avec la même tangente $y = 2x - 1$.

3.4 Demi-tangente verticale

Il arrive que le taux d'accroissement tende vers $+\infty$ ou $-\infty$. Ce n'est pas une limite finie : la fonction n'est pas dérivable de ce côté. Les sécantes se redressent, et la courbe admet une demi-tangente verticale.

Exemple 16 (racine carrée en 0). Pour $h > 0$, $\dfrac{\sqrt{0 + h} - \sqrt0}{h} = \dfrac{\sqrt h}{h} = \dfrac{1}{\sqrt h}$, qui tend vers $+\infty$ quand $h$ tend vers $0$. La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ (même à droite), et sa courbe admet à l'origine une demi-tangente verticale, portée par l'axe des ordonnées.