Dérivation

Leçon 1 : Nombre dérivé

Voir la vidéo de la leçon 1

1.1 Taux d'accroissement

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $x_0$ un réel de $I$. Pour tout réel $x$ de $I$ différent de $x_0$, le taux d'accroissement (ou taux de variation, vu en Seconde) de $f$ entre $x_0$ et $x$ est $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

Interprétation graphique. Soit $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ et $M\big(x\,;f(x)\big)$ deux points de $\mathcal{C}_f$. Le taux d'accroissement est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses : c'est le coefficient directeur de la droite $(AM)$, appelée une sécante à la courbe.

Avec $h$. On pose souvent $x = x_0 + h$, avec $h \neq 0$. Le taux d'accroissement s'écrit alors $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

Exemple 1. Soit $f(x) = x^2$ et $x_0 = 3$. Pour $h \neq 0$, $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h.$

$h$	$1$	$0{,}5$	$0{,}1$	$0{,}01$	$-0{,}1$	$-0{,}01$
taux $6 + h$	$7$	$6{,}5$	$6{,}1$	$6{,}01$	$5{,}9$	$5{,}99$

Quand $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ glisse sur la parabole vers $A(3\,;9)$, et les coefficients directeurs des sécantes se rapprochent de $6$.

1.2 Fonction dérivable en un point

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$. Ce réel $\ell$ s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, et on le note $f'(x_0)$ (lire « f prime de x zéro ») : $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

1.3 Le lien entre les deux écritures

Si l'on pose $x = x_0 + h$, dire que $x$ tend vers $x_0$ revient à dire que $h$ tend vers $0$. Les deux écritures suivantes sont donc équivalentes : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si l'une (et alors l'autre) des limites existe et est finie, et $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$ On choisit l'écriture qui rend le calcul le plus simple. Dans les deux cas, on obtient d'abord une forme indéterminée $\dfrac00$, qu'on lève avec les méthodes du chapitre 2 (développer, factoriser, expression conjuguée).

Exemple 2 (suite de l'exemple 1). Le taux vaut $6 + h$, qui tend vers $6$ quand $h$ tend vers $0$. Donc la fonction carré est dérivable en $3$, et $f'(3) = 6$.

Avec l'autre écriture : pour $x \neq 3$, $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, qui tend vers $6$ quand $x$ tend vers $3$. On trouve bien le même nombre.

Exemple 3. Soit $g(x) = \dfrac1x$ et $x_0 = 2$. Pour $h \neq 0$ et $h \neq -2$, $g(2 + h) - g(2) = \frac{1}{2 + h} - \frac12 = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}, \qquad \text{donc} \qquad \frac{g(2 + h) - g(2)}{h} = \frac{-1}{2(2 + h)}.$ Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $-\dfrac14$. Donc $g$ est dérivable en $2$ et $g'(2) = -\dfrac14$.

Exemple 4. Soit $k(x) = \sqrt x$ et $x_0 = 4$. Pour $x \geq 0$ et $x \neq 4$, on utilise $x - 4 = (\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)$ : $\frac{k(x) - k(4)}{x - 4} = \frac{\sqrt x - 2}{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)} = \frac{1}{\sqrt x + 2}.$ Quand $x$ tend vers $4$, ce taux tend vers $\dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac14$. Donc $k$ est dérivable en $4$ et $k'(4) = \dfrac14$.

Exemple 5. Soit $p(x) = x^3 - 2x$ et $x_0 = 1$. On a $p(1) = -1$ et, pour $x \neq 1$, $x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1)$ (on le vérifie en développant). Donc $\frac{p(x) - p(1)}{x - 1} = \frac{x^3 - 2x + 1}{x - 1} = x^2 + x - 1,$ qui tend vers $1 + 1 - 1 = 1$ quand $x$ tend vers $1$. Donc $p'(1) = 1$.

1.4 Dérivabilité et continuité

Théorème (admis). Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$.

Pourquoi (explication non exigible) : pour $x \neq x_0$, $f(x) = f(x_0) + (x - x_0) \times \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Quand $x$ tend vers $x_0$, le produit tend vers $0 \times f'(x_0) = 0$, donc $f(x)$ tend vers $f(x_0)$.

Conséquence. Une fonction qui n'est pas continue en $x_0$ n'est pas dérivable en $x_0$.

Exemple 6. La fonction partie entière $E$ n'est pas continue en $1$ (chapitre 2 : sa limite à gauche vaut $0$, sa limite à droite vaut $1$). Elle n'est donc pas dérivable en $1$.

Attention. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en $x_0$ sans y être dérivable. La valeur absolue en $0$ en est l'exemple (leçon 3).

Leçon 2 : Tangente à une courbe, approximation affine

Voir la vidéo de la leçon 2

2.1 De la sécante à la tangente

Soit $f$ dérivable en $x_0$, $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$, et $M$ un point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x_0 + h$. Quand $h$ tend vers $0$, le point $M$ se rapproche de $A$ sur la courbe, et la sécante $(AM)$ tourne autour de $A$ : son coefficient directeur, le taux d'accroissement, tend vers $f'(x_0)$. La sécante se rapproche ainsi d'une position limite : la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(x_0)$. C'est la tangente.

Définition. Si $f$ est dérivable en $x_0$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ est la droite qui passe par $A$ et qui a pour coefficient directeur $f'(x_0)$.

2.2 Équation de la tangente

Une droite de coefficient directeur $m$ qui passe par $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ a pour équation $y - f(x_0) = m(x - x_0)$. D'où :

Propriété. Si $f$ est dérivable en $x_0$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation $y = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0).$

Exemple 7. Pour $f(x) = x^2$ en $x_0 = 3$ : $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ (exemple 2). La tangente a pour équation $y = 6(x - 3) + 9$, soit $y = 6x - 9$.

Exemple 8. Pour $g(x) = \dfrac1x$ en $x_0 = 2$ : $g(2) = \dfrac12$ et $g'(2) = -\dfrac14$ (exemple 3). La tangente a pour équation $y = -\dfrac14(x - 2) + \dfrac12$, soit $y = -\dfrac14 x + 1$.

Exemple 9. Pour $p(x) = x^3 - 2x$ en $x_0 = 1$ : $p(1) = -1$ et $p'(1) = 1$ (exemple 5). La tangente a pour équation $y = (x - 1) - 1$, soit $y = x - 2$.

Tangente horizontale. Si $f'(x_0) = 0$, la tangente en $A$ est la droite horizontale d'équation $y = f(x_0)$.

Exemple 10. Soit $q(x) = x^2 - 4x + 1$ et $x_0 = 2$. On a $q(2) = -3$ et, pour $h \neq 0$, $\frac{q(2 + h) - q(2)}{h} = \frac{(4 + 4h + h^2) - (8 + 4h) + 1 + 3}{h} = \frac{h^2}{h} = h,$ qui tend vers $0$. Donc $q'(2) = 0$ : la tangente au sommet $S(2\,;-3)$ de la parabole est la droite horizontale $y = -3$.

Tracer une tangente. On part de $A$, on avance d'une unité vers la droite, puis on monte de $f'(x_0)$ (on descend si $f'(x_0) < 0$) : on obtient un second point de la tangente.

2.3 Approximation affine

Près du point $A$, la courbe et sa tangente sont presque confondues : on peut remplacer $f$ par la fonction affine dont la droite représentative est la tangente.

Propriété (approximation affine). Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors, pour $h$ proche de $0$, $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,h.$ Le nombre $f(x_0) + f'(x_0)\,h$ est l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse $x_0 + h$.

Pour aller plus loin (non exigible). On peut écrire $f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varphi(h)$, où $\varphi(h) = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0)$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ : l'erreur commise est petite devant $h$. Par exemple, $(3 + h)^2 = 9 + 6h + h \times h$, avec ici $\varphi(h) = h$.

Exemple 11. La racine carrée en $4$ : $k(4) = 2$ et $k'(4) = \dfrac14$ (exemple 4). Donc, pour $h$ proche de $0$, $\sqrt{4 + h} \approx 2 + \dfrac h4$.

• Avec $h = 0{,}02$ : $\sqrt{4{,}02} \approx 2{,}005$. La calculatrice donne $2{,}004\,993\ldots$ : l'erreur est inférieure à $10^{-5}$.
• Avec $h = -0{,}04$ : $\sqrt{3{,}96} \approx 2 - 0{,}01 = 1{,}99$. La calculatrice donne $1{,}989\,974\ldots$

Trois approximations utiles en $1$. En calculant les nombres dérivés en $1$ des fonctions $x \mapsto x^2$, $x \mapsto \dfrac1x$ et $x \mapsto \sqrt x$ (ils valent $2$, $-1$ et $\dfrac12$), on obtient, pour $h$ proche de $0$ : $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h, \qquad \frac{1}{1 + h} \approx 1 - h, \qquad \sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac h2.$

Exemple 12. $\dfrac{1}{1{,}02} \approx 1 - 0{,}02 = 0{,}98$ (la calculatrice donne $0{,}980\,39\ldots$) ; $1{,}003^2 \approx 1{,}006$ (valeur exacte $1{,}006\,009$) ; $\sqrt{1{,}06} \approx 1{,}03$ (la calculatrice donne $1{,}029\,56\ldots$).

Leçon 3 : Nombre dérivé à gauche, nombre dérivé à droite

Voir la vidéo de la leçon 3

3.1 Définitions

Soit $f$ définie sur un intervalle contenant $x_0$.

• Si le taux d'accroissement de $f$ en $x_0$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$ en restant négatif (c'est-à-dire quand $x$ tend vers $x_0$ par la gauche), on dit que $f$ est dérivable à gauche en $x_0$. Cette limite est le nombre dérivé à gauche, noté $f'_g(x_0)$ : $f'_g(x_0) = \lim_{\substack{h \to 0 \\ h < 0}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{\substack{x \to x_0 \\ x < x_0}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$
• De même, avec $h > 0$ (ou $x > x_0$), on définit la dérivabilité à droite et le nombre dérivé à droite $f'_d(x_0)$.

3.2 Les deux théorèmes

Soit $f$ une fonction dérivable à gauche et à droite en $x_0$.

Théorème 1. Si les nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux à un même réel $\ell$, alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = \ell$.

Théorème 2. Si les nombres dérivés à gauche et à droite sont différents, alors $f$ n'est pas dérivable en $x_0$.

Le théorème 1 vient de celui du chapitre 2 sur les limites à gauche et à droite : si elles sont égales à $\ell$, la limite existe et vaut $\ell$.

3.3 Demi-tangentes, point anguleux

Si $f$ est dérivable à droite en $x_0$, la courbe admet au point $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ une demi-tangente à droite : c'est la demi-droite d'origine $A$ et de coefficient directeur $f'_d(x_0)$, d'équation $y = f'_d(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0), \qquad x \geq x_0.$ De même, la demi-tangente à gauche a pour équation $y = f'_g(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0)$, avec $x \leq x_0$.

Si $f'_g(x_0) \neq f'_d(x_0)$, la courbe a en $A$ deux demi-tangentes qui ne sont pas dans le prolongement l'une de l'autre : on dit que $A$ est un point anguleux de la courbe. La courbe y fait un « coin ».

Exemple 13 (valeur absolue en 0). Soit $f(x) = |x|$. Pour $h \neq 0$, $\dfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \dfrac{|h|}{h}$.

• Si $h > 0$, ce taux vaut $1$ : $f'_d(0) = 1$.
• Si $h < 0$, il vaut $-1$ : $f'_g(0) = -1$.

Les deux nombres sont différents : la valeur absolue n'est pas dérivable en $0$. L'origine est un point anguleux ; les demi-tangentes sont portées par les droites $y = x$ (pour $x \geq 0$) et $y = -x$ (pour $x \leq 0$). Pourtant, la valeur absolue est continue en $0$ : c'est le contre-exemple annoncé à la leçon 1.

Exemple 14 (point anguleux). Soit $g$ définie par $g(x) = x^2$ si $x \leq 1$ et $g(x) = -x + 2$ si $x > 1$. On a $g(1) = 1$.

• À gauche de $1$ ($x < 1$) : $\dfrac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$, qui tend vers $2$. Donc $g'_g(1) = 2$.
• À droite de $1$ ($x > 1$) : $\dfrac{g(x) - g(1)}{x - 1} = \dfrac{-x + 2 - 1}{x - 1} = \dfrac{-(x - 1)}{x - 1} = -1$. Donc $g'_d(1) = -1$.

Les nombres dérivés sont différents : $g$ n'est pas dérivable en $1$, et $A(1\,;1)$ est un point anguleux. Demi-tangente à gauche : $y = 2(x - 1) + 1$, soit $y = 2x - 1$ pour $x \leq 1$. Demi-tangente à droite : $y = -(x - 1) + 1$, soit $y = -x + 2$ pour $x \geq 1$.

Exemple 15 (raccordement sans coin). Soit $f$ définie par $f(x) = x^2$ si $x \leq 1$ et $f(x) = 2x - 1$ si $x > 1$. On a $f(1) = 1$. À gauche, le taux vaut $x + 1$, qui tend vers $2$. À droite, il vaut $\dfrac{2x - 1 - 1}{x - 1} = 2$. Donc $f'_g(1) = f'_d(1) = 2$ : $f$ est dérivable en $1$ et $f'(1) = 2$. Les deux morceaux se raccordent avec la même tangente $y = 2x - 1$.

3.4 Demi-tangente verticale

Il arrive que le taux d'accroissement tende vers $+\infty$ ou $-\infty$. Ce n'est pas une limite finie : la fonction n'est pas dérivable de ce côté. Les sécantes se redressent, et la courbe admet une demi-tangente verticale.

Exemple 16 (racine carrée en 0). Pour $h > 0$, $\dfrac{\sqrt{0 + h} - \sqrt0}{h} = \dfrac{\sqrt h}{h} = \dfrac{1}{\sqrt h}$, qui tend vers $+\infty$ quand $h$ tend vers $0$. La racine carrée n'est pas dérivable en $0$ (même à droite), et sa courbe admet à l'origine une demi-tangente verticale, portée par l'axe des ordonnées.

Leçon 4 : Fonction dérivée, dérivées des fonctions usuelles

Voir la vidéo de la leçon 4

4.1 Fonction dérivable sur un intervalle

Définition. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$. La fonction qui, à tout $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ ; on la note $f'$.

Sur un intervalle fermé $[a\,;b]$, on demande en plus que $f$ soit dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Exemple 17 (la fonction carré). Soit $f(x) = x^2$ et $x$ un réel quelconque. Pour $h \neq 0$, $\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h,$ qui tend vers $2x$. La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x) = 2x$. Par exemple, $f'(-1) = -2$, $f'(0) = 0$, $f'(1) = 2$ et $f'(3) = 6$.

4.2 Dérivées des fonctions usuelles

Les angles sont en radians. La racine carrée est définie en $0$, mais n'y est pas dérivable (exemple 16).

4.3 D'où viennent ces formules

• Constante. Le taux vaut $\dfrac{a - a}{h} = 0$. Fonction $x \mapsto kx$. Le taux vaut $\dfrac{k(x + h) - kx}{h} = k$.
• Fonction cube. $\dfrac{(x + h)^3 - x^3}{h} = \dfrac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$, qui tend vers $3x^2$. C'est bien $n\,x^{n-1}$ pour $n = 3$. Pour un entier $n$ quelconque, la formule est admise.
• Fonction inverse. Pour $x \neq 0$ et $h$ assez petit, $\dfrac{1}{x + h} - \dfrac1x = \dfrac{-h}{x(x + h)}$. Le taux vaut $\dfrac{-1}{x(x + h)}$, qui tend vers $-\dfrac{1}{x^2}$.
• Racine carrée. Pour $x > 0$, on multiplie par l'expression conjuguée : $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt x}{h} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt x\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt x},$ qui tend vers $\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
• Sinus et cosinus. Les formules sont admises.

Exemple 18. La dérivée de $x \mapsto x^5$ est $x \mapsto 5x^4$ ; celle de $x \mapsto -3x$ est la constante $-3$ ; celle de $x \mapsto 7$ est la fonction nulle.

Exemple 19. Tangente à la courbe de la racine carrée au point d'abscisse $9$ : $\sqrt9 = 3$ et la dérivée en $9$ vaut $\dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$. La tangente a pour équation $y = \dfrac16(x - 9) + 3$, soit $y = \dfrac16 x + \dfrac32$.

Exemple 20. Le cosinus a pour dérivée $-\sin$, qui s'annule en $0$ : la tangente à la courbe du cosinus au point $(0\,;1)$ est horizontale. Le sinus a pour dérivée le cosinus, qui vaut $1$ en $0$ : la tangente à la courbe du sinus à l'origine est la droite $y = x$.

Leçon 5 : Règles de calcul

Voir la vidéo de la leçon 5

Dans toute la leçon, $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, et $k$ est un réel.

5.1 Somme, produit par un réel

$(u + v)' = u' + v' \qquad \text{et} \qquad (k\,u)' = k\,u'.$ En effet, le taux de $u + v$ est la somme des taux de $u$ et de $v$, et celui de $ku$ est $k$ fois celui de $u$.

Conséquence. On dérive un polynôme terme à terme : un polynôme est dérivable sur $\mathbb{R}$.

Exemple 21. $P(x) = 3x^4 - 5x^2 + 2x - 7$ a pour dérivée $P'(x) = 3 \times 4x^3 - 5 \times 2x + 2 = 12x^3 - 10x + 2$.

5.2 Produit

$(u\,v)' = u'\,v + u\,v'.$ Attention : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées.

Démonstration. Pour $x$ dans $I$ et $h \neq 0$ : $\frac{u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)}{h} = \frac{u(x + h) - u(x)}{h}\,v(x + h) + u(x)\,\frac{v(x + h) - v(x)}{h}.$ Quand $h$ tend vers $0$, les deux taux tendent vers $u'(x)$ et $v'(x)$ ; et $v(x + h)$ tend vers $v(x)$, car $v$, dérivable, est continue (leçon 1). D'où le résultat.

Exemple 22. $f(x) = (2x + 1)\sqrt x$ sur $]0\,;+\infty[$. Avec $u(x) = 2x + 1$ et $v(x) = \sqrt x$ : $u'(x) = 2$ et $v'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x}$. Donc $f'(x) = 2\sqrt x + \frac{2x + 1}{2\sqrt x} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt x} = \frac{6x + 1}{2\sqrt x}.$

Exemple 23. $f(x) = x \sin x$ sur $\mathbb{R}$ : $f'(x) = 1 \times \sin x + x \cos x = \sin x + x\cos x$.

5.3 Inverse et quotient

Si $v$ ne s'annule pas sur $I$ : $\left(\frac1v\right)' = -\frac{v'}{v^2} \qquad \text{et} \qquad \left(\frac uv\right)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.$

Démonstration de la première formule. $\dfrac{1}{v(x + h)} - \dfrac{1}{v(x)} = -\dfrac{v(x + h) - v(x)}{v(x + h)\,v(x)}$ ; on divise par $h$ et on fait tendre $h$ vers $0$ (en utilisant encore la continuité de $v$). La seconde s'en déduit en écrivant $\dfrac uv = u \times \dfrac1v$ et en appliquant la règle du produit.

Conséquence. Une fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition.

Exemple 24. $g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 2}$ sur $]-\infty\,;2[$ et sur $]2\,;+\infty[$. Avec $u(x) = x^2 + 1$, $v(x) = x - 2$, $u'(x) = 2x$, $v'(x) = 1$ : $g'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \times 1}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2}.$ En $3$ : $g(3) = 10$ et $g'(3) = \dfrac{9 - 12 - 1}{1} = -4$. La tangente au point d'abscisse $3$ a pour équation $y = -4(x - 3) + 10 = -4x + 22$.

Exemple 25. $h(x) = \dfrac{3}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ ($x^2 + 1$ ne s'annule jamais). Avec $v(x) = x^2 + 1$ : $h'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\right) = -\dfrac{6x}{(x^2 + 1)^2}$.

Exemple 26 (fonction tangente). Sur un intervalle où $\cos x \neq 0$, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, donc $\tan'(x) = \frac{\cos x \times \cos x - \sin x \times (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x.$

Exemple 27. Pour $n$ entier, $n \geq 1$, la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x^n}$ est dérivable sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, de dérivée $-\dfrac{n\,x^{n-1}}{x^{2n}} = -\dfrac{n}{x^{n+1}}$. Par exemple, la dérivée de $\dfrac{1}{x^2}$ est $-\dfrac{2}{x^3}$.

5.4 Dérivée de $x \mapsto f(ax + b)$

Propriété. Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$, et $a$, $b$ deux réels. La fonction $g : x \mapsto f(ax + b)$ est dérivable en tout réel $x$ tel que $ax + b \in J$, et $g'(x) = a\,f'(ax + b).$ On dérive $f$, on l'évalue en $ax + b$, et on multiplie par $a$.

Explication. Si $a = 0$, $g$ est constante et $g' = 0$. Si $a \neq 0$, on pose $X = ax + b$ et $k = ah$ : $\frac{g(x + h) - g(x)}{h} = \frac{f(X + ah) - f(X)}{h} = a \times \frac{f(X + k) - f(X)}{k}.$ Quand $h$ tend vers $0$, $k$ tend vers $0$, et le taux tend vers $a\,f'(X)$.

Exemple 28.

• $(2x - 1)^5$ a pour dérivée $2 \times 5\,(2x - 1)^4 = 10\,(2x - 1)^4$.
• $\sqrt{3 - 2x}$ a pour dérivée $-2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{3 - 2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{3 - 2x}}$, pour $3 - 2x > 0$, c'est-à-dire sur $\left]-\infty\,;\dfrac32\right[$.
• $\sin\left(2x + \dfrac\pi3\right)$ a pour dérivée $2\cos\left(2x + \dfrac\pi3\right)$.
• $\dfrac{1}{4x + 1}$ a pour dérivée $4 \times \left(-\dfrac{1}{(4x + 1)^2}\right) = -\dfrac{4}{(4x + 1)^2}$, sur chaque intervalle où $4x + 1 \neq 0$.

5.5 Méthode

1. Reconnaître la forme de la fonction : somme, produit, quotient, fonction de $ax + b$.
2. Préciser l'intervalle où elle est dérivable.
3. Appliquer la règle, puis simplifier (factoriser, réduire au même dénominateur) : c'est le signe de la dérivée qui servira ensuite.

Leçon 6 : Dérivée et sens de variation

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6.1 Les théorèmes (admis)

Théorèmes (admis). Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

1. Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
2. Si $f'$ est positive sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$. Si $f'$ est négative sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
3. Si $f'$ est strictement positive sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Si $f'$ est strictement négative sur $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Interprétation. Là où les tangentes montent (coefficient directeur positif), la courbe monte ; là où elles descendent, la courbe descend.

Attention : il faut un intervalle. La fonction inverse a pour dérivée $-\dfrac{1}{x^2} < 0$ en tout réel non nul. Elle est strictement décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$, mais pas sur $\mathbb{R}^*$ : $-1 < 1$ et $\dfrac{1}{-1} = -1 < 1 = \dfrac11$.

Exemple 29. Soit $f(x) = \cos^2 x + \sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$. Par la règle du produit, $(\cos^2 x)' = -2\sin x\cos x$ et $(\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x$, donc $f'(x) = 0$. Par le théorème 1, $f$ est constante sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = f(0) = 1$. On retrouve $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

6.2 Tableau de variations

Méthode.

1. Donner l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité.
2. Calculer $f'(x)$, puis la factoriser autant que possible.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ (tableau de signes).
4. Dresser le tableau de variations : une ligne pour $x$ (avec les valeurs où $f'$ s'annule et les bornes), une ligne pour le signe de $f'(x)$, une ligne pour les variations de $f$ (flèches), en y portant les valeurs de $f$ aux points remarquables et les limites aux bornes (chapitre 2).