Dérivation

1. Question 1 sur 17Soit $f(x) = x^2$ . Pour $h \neq 0$ , le taux d'accroissement de $f$ entre $3$ et $3 + h$ vaut

   A $6 + h$ B $6$ C $9 + h$ D $6h + h^2$

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   Réponse A. $\dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \dfrac{6h + h^2}{h} = 6 + h$ . La réponse B est sa limite, le nombre dérivé $f'(3)$ ; la réponse D oublie de diviser par $h$ .

2. Question 2 sur 17Si $f$ est dérivable en $a$ , alors

   A $f'(a) = 0$ B $f$ est continue en $a$ C $f$ est croissante sur un intervalle contenant $a$ D $f$ n'est pas continue en $a$

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   Réponse B. C'est le théorème du cours : dérivable en $a$ entraîne continue en $a$ . La réciproque est fausse.

3. Question 3 sur 17Une équation de la tangente à la courbe de $x \mapsto x^2$ au point d'abscisse $1$ est

   A $y = 2x + 1$ B $y = x$ C $y = 2x$ D $y = 2x - 1$

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   Réponse D. $f(1) = 1$ et $f'(1) = 2$ , donc $y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$ . La droite A a le bon coefficient directeur, mais ne passe pas par le point $(1\,;1)$ .

4. Question 4 sur 17Par l'approximation affine de la racine carrée en $1$ , une valeur approchée de $\sqrt{1{,}02}$ est

   A $1{,}02$ B $1{,}04$ C $1{,}01$ D $1{,}2$

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   Réponse C. $\sqrt{1 + h} \approx 1 + \dfrac h2$ , avec $h = 0{,}02$ : $1{,}01$ . La calculatrice donne $1{,}009\,95\ldots$

5. Question 5 sur 17Pour la fonction $f(x) = |x|$ , en $0$ ,

   A $f$ est dérivable et $f'(0) = 0$ B $f$ n'est pas continue C $f'(0) = 1$ D $f'_g(0) = -1$ et $f'_d(0) = 1$ : l'origine est un point anguleux

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   Réponse D. Le taux $\dfrac{|h|}{h}$ vaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ . La valeur absolue est continue en $0$ , mais n'y est pas dérivable.

6. Question 6 sur 17Au point $O$ , la courbe de la fonction racine carrée

   A a une tangente horizontale B a une demi-tangente verticale C a un point anguleux D a une tangente de coefficient directeur $\dfrac12$

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   Réponse B. Le taux $\dfrac{\sqrt h}{h} = \dfrac{1}{\sqrt h}$ tend vers $+\infty$ quand $h$ tend vers $0$ par la droite : la racine carrée n'est pas dérivable en $0$ , et sa courbe y a une demi-tangente verticale.

7. Question 7 sur 17Sur $]0\,;+\infty[$ , la dérivée de $x \mapsto \sqrt x$ est

   A $x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt x}$ B $x \mapsto 2\sqrt x$ C $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$ D $x \mapsto \dfrac{\sqrt x}{2}$

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   Réponse A. C'est une formule du tableau des dérivées usuelles ; elle se démontre avec l'expression conjuguée.

8. Question 8 sur 17La dérivée de $x \mapsto \cos x$ est

   A $x \mapsto \sin x$ B $x \mapsto -\sin x$ C $x \mapsto -\cos x$ D $x \mapsto \cos x$

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   Réponse B. $(\cos x)' = -\sin x$ et $(\sin x)' = \cos x$ : attention au signe moins, qui est pour le cosinus.

9. Question 9 sur 17La dérivée de $x \mapsto x\sin x$ est

   A $x \mapsto \cos x$ B $x \mapsto x\cos x$ C $x \mapsto \sin x + x\cos x$ D $x \mapsto \sin x - x\cos x$

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   Réponse C. Règle du produit : $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u(x) = x$ et $v(x) = \sin x$ . La réponse A est le produit des dérivées, ce qui est faux.

10. Question 10 sur 17Sur $]-1\,;+\infty[$ , la dérivée de $x \mapsto \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ est

    A $x \mapsto \dfrac{3}{(x + 1)^2}$ B $x \mapsto 2$ C $x \mapsto -\dfrac{3}{(x + 1)^2}$ D $x \mapsto \dfrac{4x + 1}{(x + 1)^2}$

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    Réponse A. $\dfrac{2(x + 1) - (2x - 1) \times 1}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2}$ . La réponse C inverse l'ordre $u'v - uv'$ .

11. Question 11 sur 17La dérivée de $x \mapsto (3x - 1)^4$ est

    A $x \mapsto 4(3x - 1)^3$ B $x \mapsto 12(3x - 1)^4$ C $x \mapsto 12(3x - 1)^3$ D $x \mapsto 3(3x - 1)^3$

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    Réponse C. $\big(f(ax + b)\big)' = a\,f'(ax + b)$ avec $f(X) = X^4$ et $a = 3$ : $3 \times 4(3x - 1)^3$ . La réponse A oublie de multiplier par $a = 3$ .

12. Question 12 sur 17$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , $f'(x) > 0$ pour $x < 1$ , $f'(1) = 0$ et $f'(x) < 0$ pour $x > 1$ . Alors

    A $f$ admet un minimum en $1$ B $f$ admet un maximum en $1$ C $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ D $f(1) = 0$

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    Réponse B. $f'$ s'annule en $1$ en passant du signe $+$ au signe $-$ : $f$ croît puis décroît, elle admet un maximum en $1$ . Rien ne dit que $f(1) = 0$ .

13. Question 13 sur 17Sur l'intervalle $[-1\,;1]$ , la fonction $f(x) = x^3 - 3x$ est

    A strictement croissante B constante C strictement décroissante D positive

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    Réponse C. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) < 0$ sur $]-1\,;1[$ . Elle n'est pas positive : $f(1) = -2$ .

14. Question 14 sur 17$f$ est dérivable sur $[0\,;2]$ , avec $f'(x) > 0$ sur $[0\,;2]$ , $f(0) = -1$ et $f(2) = 3$ . Dans $[0\,;2]$ , l'équation $f(x) = 0$ a

    A une seule solution B aucune solution C deux solutions D un nombre de solutions qu'on ne peut pas connaître

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    Réponse A. $f$ est une bijection strictement croissante de $[0\,;2]$ sur $[-1\,;3]$ , qui contient $0$ : l'équation a une solution unique.

15. Question 15 sur 17La fonction $V(x) = x\,(6 - 2x)^2$ , définie sur $]0\,;3[$ , atteint son maximum pour

    A $x = 2$ B $x = \dfrac32$ C $x = \dfrac12$ D $x = 1$

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    Réponse D. $V'(x) = (6 - 2x)^2 - 4x(6 - 2x) = (6 - 2x)(6 - 6x)$ : sur $]0\,;3[$ , $V'$ est positive avant $1$ et négative après. Le maximum vaut $V(1) = 16$ .

16. Question 16 sur 17La position d'un mobile est $d(t) = 5t^2$ (en m, $t$ en s). Sa vitesse instantanée à l'instant $t = 2$ est

    A $20$ m B $10$ m/s C $40$ m/s D $20$ m/s

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    Réponse D. $v(t) = d'(t) = 10t$ , donc $v(2) = 20$ m/s. La réponse A est la position $d(2)$ , qui est une longueur.

17. Question 17 sur 17Le coût total de fabrication de $q$ objets est $C(q) = q^2 + 4q + 100$ . Le coût marginal pour $q = 10$ est

    A $24$ B $240$ C $14$ D $12$

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    Réponse A. Le coût marginal est $C'(q) = 2q + 4$ , donc $C'(10) = 24$ . La réponse B est le coût total $C(10)$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.