Nombre dérivé

1.1 Taux d'accroissement

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $x_0$ un réel de $I$. Pour tout réel $x$ de $I$ différent de $x_0$, le taux d'accroissement (ou taux de variation, vu en Seconde) de $f$ entre $x_0$ et $x$ est $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

Interprétation graphique. Soit $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ et $M\big(x\,;f(x)\big)$ deux points de $\mathcal{C}_f$. Le taux d'accroissement est le quotient de la différence des ordonnées par la différence des abscisses : c'est le coefficient directeur de la droite $(AM)$, appelée une sécante à la courbe.

Avec $h$. On pose souvent $x = x_0 + h$, avec $h \neq 0$. Le taux d'accroissement s'écrit alors $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

Exemple 1. Soit $f(x) = x^2$ et $x_0 = 3$. Pour $h \neq 0$, $\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = 6 + h.$

$h$	$1$	$0{,}5$	$0{,}1$	$0{,}01$	$-0{,}1$	$-0{,}01$
taux $6 + h$	$7$	$6{,}5$	$6{,}1$	$6{,}01$	$5{,}9$	$5{,}99$

Quand $h$ se rapproche de $0$, le point $M$ glisse sur la parabole vers $A(3\,;9)$, et les coefficients directeurs des sécantes se rapprochent de $6$.

1.2 Fonction dérivable en un point

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $x_0$. On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x$ admet une limite finie $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$. Ce réel $\ell$ s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $x_0$, et on le note $f'(x_0)$ (lire « f prime de x zéro ») : $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.$

1.3 Le lien entre les deux écritures

Si l'on pose $x = x_0 + h$, dire que $x$ tend vers $x_0$ revient à dire que $h$ tend vers $0$. Les deux écritures suivantes sont donc équivalentes : $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si l'une (et alors l'autre) des limites existe et est finie, et $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$ On choisit l'écriture qui rend le calcul le plus simple. Dans les deux cas, on obtient d'abord une forme indéterminée $\dfrac00$, qu'on lève avec les méthodes du chapitre 2 (développer, factoriser, expression conjuguée).

Exemple 2 (suite de l'exemple 1). Le taux vaut $6 + h$, qui tend vers $6$ quand $h$ tend vers $0$. Donc la fonction carré est dérivable en $3$, et $f'(3) = 6$.

Avec l'autre écriture : pour $x \neq 3$, $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, qui tend vers $6$ quand $x$ tend vers $3$. On trouve bien le même nombre.

Exemple 3. Soit $g(x) = \dfrac1x$ et $x_0 = 2$. Pour $h \neq 0$ et $h \neq -2$, $g(2 + h) - g(2) = \frac{1}{2 + h} - \frac12 = \frac{2 - (2 + h)}{2(2 + h)} = \frac{-h}{2(2 + h)}, \qquad \text{donc} \qquad \frac{g(2 + h) - g(2)}{h} = \frac{-1}{2(2 + h)}.$ Quand $h$ tend vers $0$, ce taux tend vers $-\dfrac14$. Donc $g$ est dérivable en $2$ et $g'(2) = -\dfrac14$.

Exemple 4. Soit $k(x) = \sqrt x$ et $x_0 = 4$. Pour $x \geq 0$ et $x \neq 4$, on utilise $x - 4 = (\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)$ : $\frac{k(x) - k(4)}{x - 4} = \frac{\sqrt x - 2}{(\sqrt x - 2)(\sqrt x + 2)} = \frac{1}{\sqrt x + 2}.$ Quand $x$ tend vers $4$, ce taux tend vers $\dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac14$. Donc $k$ est dérivable en $4$ et $k'(4) = \dfrac14$.

Exemple 5. Soit $p(x) = x^3 - 2x$ et $x_0 = 1$. On a $p(1) = -1$ et, pour $x \neq 1$, $x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1)$ (on le vérifie en développant). Donc $\frac{p(x) - p(1)}{x - 1} = \frac{x^3 - 2x + 1}{x - 1} = x^2 + x - 1,$ qui tend vers $1 + 1 - 1 = 1$ quand $x$ tend vers $1$. Donc $p'(1) = 1$.

1.4 Dérivabilité et continuité

Théorème (admis). Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$.

Pourquoi (explication non exigible) : pour $x \neq x_0$, $f(x) = f(x_0) + (x - x_0) \times \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Quand $x$ tend vers $x_0$, le produit tend vers $0 \times f'(x_0) = 0$, donc $f(x)$ tend vers $f(x_0)$.

Conséquence. Une fonction qui n'est pas continue en $x_0$ n'est pas dérivable en $x_0$.

Exemple 6. La fonction partie entière $E$ n'est pas continue en $1$ (chapitre 2 : sa limite à gauche vaut $0$, sa limite à droite vaut $1$). Elle n'est donc pas dérivable en $1$.

Attention. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en $x_0$ sans y être dérivable. La valeur absolue en $0$ en est l'exemple (leçon 3).