Suites récurrentes, suites de référence

9.1 Trouver la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$

Quand chaque terme se calcule à partir du précédent seulement, on peut écrire $u_{n+1} = f(u_n)$ : on remplace $u_n$ par $x$ dans la relation de récurrence.

Exemple 44.

• $u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 2$ : $f(x) = \dfrac12 x + 2$ ;
• $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ : $f(x) = \sqrt{2x + 3}$, définie sur $\left[-\dfrac32\,;+\infty\right[$ ;
• $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$ : $f(x) = \dfrac{x}{1 + x}$.

En revanche, la relation $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$ de l'exemple 3 fait intervenir $n$ : elle n'est pas de la forme $v_{n+1} = f(v_n)$.

9.2 Construire les termes à partir de la courbe de $f$

On connaît la courbe $\mathcal{C}_f$ et le premier terme $u_0$. On trace aussi la droite $\Delta$ d'équation $y = x$.

1. On place $u_0$ sur l'axe des abscisses.
2. On monte (ou on descend) verticalement jusqu'à $\mathcal{C}_f$ : le point atteint a pour ordonnée $f(u_0) = u_1$.
3. On rejoint horizontalement la droite $\Delta$ : le point atteint a pour abscisse $u_1$. On redescend sur l'axe des abscisses, où l'on place $u_1$.
4. On recommence à partir de $u_1$ pour obtenir $u_2$, et ainsi de suite.

Les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$, … s'alignent sur l'axe des abscisses : on peut conjecturer le sens de variation de la suite et son comportement.

Exemple 45 (suite de l'exemple 2). Avec $f(x) = \dfrac12 x + 2$ et $u_0 = 1$, la construction dessine un escalier qui monte vers le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $\Delta$. Ce point vérifie $\dfrac12 x + 2 = x$, donc $x = 4$. On conjecture que la suite est croissante et qu'elle converge vers $4$ : c'est bien ce qu'on a démontré aux exemples 20 et 36.

Exemple 46. Avec $f(x) = \sqrt{2x + 3}$ et $u_0 = 0$ : $u_1 = \sqrt3 \approx 1{,}732$, $u_2 \approx 2{,}542$, $u_3 \approx 2{,}843$, $u_4 \approx 2{,}947$. L'escalier monte vers le point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $\Delta$, d'abscisse $3$ (car $\sqrt{2x + 3} = x$ équivaut, pour $x \geq 0$, à $x^2 - 2x - 3 = 0$). On conjecture que la suite est croissante et qu'elle converge vers $3$.

Exemple 47. Avec $f(x) = -\dfrac12 x + 3$, qui est décroissante, et $u_0 = 0$ : $u_1 = 3$, $u_2 = 1{,}5$, $u_3 = 2{,}25$, $u_4 = 1{,}875$. La construction dessine une spirale autour du point d'intersection, d'abscisse $2$ : les termes se placent alternativement à gauche et à droite de $2$, en s'en rapprochant. La suite n'est pas monotone ; on conjecture qu'elle converge vers $2$.

Attention. Une conjecture n'est pas une démonstration : il faut ensuite démontrer ce qu'on a observé (par récurrence, par une formule explicite…).

9.3 Suites de référence (admises)

Les suites suivantes convergent vers $0$ : $\frac1n, \qquad \frac{1}{\sqrt n}, \qquad \frac{1}{10^n}, \qquad \frac{1}{n^\alpha} \ (\alpha \text{ réel strictement positif}).$ En Première, on les utilise avec $\alpha$ entier naturel non nul ($\frac{1}{n^2}$, $\frac{1}{n^3}$…) ou $\alpha = \dfrac12$, qui redonne $\dfrac{1}{\sqrt n}$. Avec les théorèmes d'opérations, par exemple, $3 + \dfrac{1}{n^3} \to 3$ et $\dfrac{5}{\sqrt n} - \dfrac{1}{10^n} \to 0$.

9.4 Passage à la limite dans une inégalité (admis)

Théorème. Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, et si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers $\ell$ et $\ell'$, alors $\ell \leq \ell'$.

En particulier, si $u_n \leq M$ pour tout $n$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $\ell \leq M$.

Attention. Les inégalités strictes deviennent larges à la limite : $\dfrac1n > 0$ pour tout $n \geq 1$, et pourtant $\lim \dfrac1n = 0$. De même, à l'exemple 20, $u_n < 4$ pour tout $n$, et la limite vaut exactement $4$.