Devoir sur 20 : Suites numériques

Devoir d'une heure, sur 20 points. Les exercices 1 à 3 sont communs aux séries S1-S3 et S2-S4 ; l'exercice 4 existe en deux versions, une par série. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (5 points)

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = \dfrac{4n + 1}{n + 1}$ .

Calculer $u_0$ , $u_1$ et $u_2$ . (1 point)
Montrer que $u_n = 4 - \dfrac{3}{n + 1}$ pour tout $n$ . (1 point)
Étudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ . (1,5 point)
Montrer que $1 \leq u_n < 4$ pour tout $n$ . (1 point)
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ . (0,5 point)

Exercice 2 (5 points)

Partie A. $(a_n)$ est une suite arithmétique telle que $a_2 = 11$ et $a_7 = 26$ .

Calculer sa raison, puis son premier terme $a_0$ , et exprimer $a_n$ en fonction de $n$ . (1 point)
Calculer $a_{19}$ , puis $S = a_0 + a_1 + \cdots + a_{19}$ . (1 point)
Le nombre $100$ est-il un terme de cette suite ? (0,5 point)

Partie B. $(v_n)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0 = 81$ et de raison $\dfrac13$ .

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et donner le sens de variation de la suite. (1 point)
Calculer $\displaystyle\sum_{k=0}^{4} v_k$ . (1 point)
Déterminer la limite de la suite $(v_n)$ . (0,5 point)

Exercice 3 (6 points)

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2$ .

Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ (valeurs exactes). (1 point)
Démontrer par récurrence que $u_n < 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ . (1,5 point)
Montrer que la suite $(u_n)$ est strictement croissante. (1 point)
On pose $v_n = u_n - 3$ .
a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$ ; préciser $v_0$ . (1 point)
b. En déduire que $u_n = 3 - 3 \times \left(\dfrac13\right)^n$ . (1 point)
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ . (0,5 point)

Exercice 4 (4 points) S1 · S3

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}$ .

Donner la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ , et son ensemble de définition. (0,5 point)
Calculer $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ (valeurs approchées au centième), puis conjecturer le comportement de la suite. (1 point)
Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur $[0\,;+\infty[$ . (1 point)
Démontrer par récurrence que $0 \leq u_n \leq 4$ pour tout $n$ . (1 point)
On admet que la suite converge vers un réel $\ell$ . Que peut-on dire de $\ell$ ? (0,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

$u_0 = 1$ , $u_1 = \dfrac52$ , $u_2 = \dfrac93 = 3$ . (1 point)
$4 - \dfrac{3}{n + 1} = \dfrac{4(n + 1) - 3}{n + 1} = \dfrac{4n + 1}{n + 1} = u_n$ . (1 point)
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{3}{n + 1} - \dfrac{3}{n + 2} = \dfrac{3}{(n + 1)(n + 2)} > 0$ : la suite est strictement croissante. (1,5 point ; on accepte aussi l'étude de $f(x) = \dfrac{4x + 1}{x + 1}$ , de dérivée $\dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ .)
$\dfrac{3}{n + 1} > 0$ , donc $u_n < 4$ . La suite est croissante, donc $u_n \geq u_0 = 1$ . (1 point)
$\dfrac{3}{n + 1} \to 0$ , donc $\lim u_n = 4$ . (0,5 point)

Exercice 2

Partie A.

$a_7 = a_2 + 5r$ , donc $5r = 15$ et $r = 3$ . Puis $a_0 = a_2 - 2r = 5$ , et $a_n = 5 + 3n$ . (1 point)
$a_{19} = 62$ . $S$ compte $20$ termes : $S = 20 \times \dfrac{5 + 62}{2} = 670$ . (1 point)
$5 + 3n = 100$ donne $3n = 95$ , qui n'est pas un multiple de $3$ : $100$ n'est pas un terme. (0,5 point)

Partie B.

$v_n = 81 \times \left(\dfrac13\right)^n = \dfrac{81}{3^n}$ . Comme $v_0 > 0$ et $0 < \dfrac13 < 1$ , la suite est strictement décroissante. (1 point)
$\displaystyle\sum_{k=0}^{4} v_k = 81 \times \frac{1 - \left(\frac13\right)^5}{1 - \frac13} = 81 \times \frac{242}{243} \times \frac32 = 121$ . Vérification : $81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121$ . (1 point)
$-1 < \dfrac13 < 1$ , donc $\lim v_n = 0$ . (0,5 point)

Exercice 3

$u_1 = 2$ , $u_2 = \dfrac23 + 2 = \dfrac83$ , $u_3 = \dfrac89 + 2 = \dfrac{26}{9}$ . (1 point)
Initialisation. $u_0 = 0 < 3$ . Hérédité. Si $u_n < 3$ , alors $\dfrac13 u_n < 1$ , donc $u_{n+1} = \dfrac13 u_n + 2 < 3$ . Conclusion. $u_n < 3$ pour tout $n$ . (1,5 point : 0,5 par étape)
$u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac23 u_n = \dfrac23(3 - u_n) > 0$ , car $u_n < 3$ : la suite est strictement croissante. (1 point)
a. $v_{n+1} = u_{n+1} - 3 = \dfrac13 u_n - 1 = \dfrac13(u_n - 3) = \dfrac13 v_n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac13$ , et $v_0 = u_0 - 3 = -3$ . (1 point)
b. $v_n = -3 \times \left(\dfrac13\right)^n$ , donc $u_n = v_n + 3 = 3 - 3 \times \left(\dfrac13\right)^n$ . (1 point)
$\left(\dfrac13\right)^n \to 0$ , donc $\lim u_n = 3$ . (0,5 point)

Exercice 4 S1 · S3

$f(x) = \sqrt{3x + 4}$ , définie sur $\left[-\dfrac43\,;+\infty\right[$ . (0,5 point)
$u_1 = 2$ , $u_2 = \sqrt{10} \approx 3{,}16$ , $u_3 = \sqrt{3\sqrt{10} + 4} \approx 3{,}67$ . On conjecture que la suite est croissante et qu'elle converge vers $4$ . (1 point)
Pour $x \geq 0$ , $\sqrt{3x + 4} = x \iff 3x + 4 = x^2 \iff x^2 - 3x - 4 = 0 \iff x = 4$ ou $x = -1$ . Sur $[0\,;+\infty[$ , la seule solution est $4$ . (1 point)
Initialisation. $0 \leq u_0 = 0 \leq 4$ . Hérédité. Si $0 \leq u_n \leq 4$ , alors $4 \leq 3u_n + 4 \leq 16$ , donc $2 \leq u_{n+1} \leq 4$ (la racine carrée est croissante), et a fortiori $0 \leq u_{n+1} \leq 4$ . (1 point)
Par passage à la limite dans $0 \leq u_n \leq 4$ : $0 \leq \ell \leq 4$ . (0,5 point)

Compétences évaluées

Exercice	Objectifs de la fiche
Ex. 1	O1 Calculer des termes ; O3 Sens de variation ; O5 Majorer, minorer ; O9 Limite d'une suite $u_n = f(n)$
Ex. 2	O7 Suites arithmétiques ; O8 Suites géométriques, sommes, notation $\sum$ ; O10 Limite de $q^n$
Ex. 3	O1 Suite récurrente ; O6 Raisonnement par récurrence ; O3 Sens de variation ; O8 Démontrer qu'une suite est géométrique ; O10 Limite
S1 · S3 Ex. 4	O12 Suites $u_{n+1} = f(u_n)$ , conjecture ; O6 Récurrence ; O13 Passage à la limite dans une inégalité