Suites numériques

1. Question 1 sur 17Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$ . Alors $u_2 =$

   A $4$ B $6$ C $10$ D $28$

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   Réponse C. $u_1 = 3 \times 2 - 2 = 4$ , puis $u_2 = 3 \times 4 - 2 = 10$ . La réponse A est $u_1$ , la réponse D est $u_3$ .

2. Question 2 sur 17Soit $u_n = \dfrac{1}{n + 1}$ . Le terme $u_{n+1}$ vaut

   A $\dfrac{1}{n + 2}$ B $\dfrac{1}{n + 1} + 1$ C $\dfrac1n$ D $\dfrac{n + 1}{n + 2}$

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   Réponse A. On remplace $n$ par $n + 1$ : $u_{n+1} = \dfrac{1}{(n + 1) + 1}$ . La réponse B est $u_n + 1$ , un tout autre nombre.

3. Question 3 sur 17La suite définie par $u_n = n^2 + n$ est

   A strictement décroissante B strictement croissante C constante D ni croissante ni décroissante

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   Réponse B. $u_{n+1} - u_n = (n + 1)^2 + (n + 1) - n^2 - n = 2n + 2 > 0$ .

4. Question 4 sur 17Soit $(u_n)$ une suite à termes strictement positifs telle que $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 0{,}8$ pour tout $n$ . Alors $(u_n)$ est

   A croissante B constante C non monotone D strictement décroissante

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   Réponse D. Les termes sont strictement positifs et le quotient est inférieur à $1$ : $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n < u_n$ .

5. Question 5 sur 17Si $u_n = f(n)$ pour tout $n$ , où $f$ est strictement décroissante sur $[0\,;+\infty[$ , alors la suite $(u_n)$ est

   A strictement décroissante B strictement croissante C constante D on ne peut rien dire

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   Réponse A. Pour tout $n$ , $n < n + 1$ , donc $f(n) > f(n + 1)$ : $u_{n+1} < u_n$ .

6. Question 6 sur 17La suite définie par $u_n = 3 - \dfrac{1}{n + 1}$ est

   A non majorée B majorée par $2$ C minorée par $2$ et majorée par $3$ D minorée par $3$

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   Réponse C. $0 < \dfrac{1}{n + 1} \leq 1$ , donc $2 \leq u_n < 3$ . Le premier terme vaut $u_0 = 2$ .

7. Question 7 sur 17La suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 4 - u_n$ est

   A arithmétique de raison $-1$ B géométrique C strictement décroissante D périodique de période $2$

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   Réponse D. Elle vaut $5, -1, 5, -1, \ldots$ : en effet $u_{n+2} = 4 - (4 - u_n) = u_n$ .

8. Question 8 sur 17Dans un raisonnement par récurrence, l'hérédité consiste à

   A vérifier que $\mathcal{P}(n_0)$ est vraie B montrer que si $\mathcal{P}(n)$ est vraie, alors $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie C vérifier $\mathcal{P}(n)$ pour plusieurs valeurs de $n$ D supposer que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout $n$

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   Réponse B. La réponse A est l'initialisation. Vérifier quelques valeurs (C) ne démontre rien, et supposer le résultat pour tout $n$ (D) revient à supposer ce qu'on veut démontrer.

9. Question 9 sur 17Soit $v_0 = 0$ et $v_{n+1} = v_n + 2n + 1$ . Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $v_n =$

   A $2n + 1$ B $n(n + 1)$ C $n^2$ D $2^n - 1$

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   Réponse C. Démontré par récurrence : $v_0 = 0^2$ , et si $v_n = n^2$ alors $v_{n+1} = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2$ .

10. Question 10 sur 17La suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $-2$ vérifie $u_{10} =$

    A $-13$ B $-20$ C $-11$ D $5$

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    Réponse A. $u_{10} = u_0 + 10r = 7 - 20 = -13$ . La réponse C ajoute seulement $9$ fois la raison.

11. Question 11 sur 17$1 + 2 + 3 + \cdots + 50 =$

    A $2\,500$ B $2\,550$ C $1\,250$ D $1\,275$

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    Réponse D. $\dfrac{50 \times 51}{2} = 1\,275$ . La réponse B oublie de diviser par $2$ .

12. Question 12 sur 17La suite géométrique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $2$ vérifie $u_5 =$

    A $48$ B $96$ C $13$ D $30$

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    Réponse B. $u_5 = 3 \times 2^5 = 96$ . La réponse A est $u_4$ ; la réponse C est le terme d'une suite arithmétique.

13. Question 13 sur 17$1 + 3 + 9 + \cdots + 3^6 =$

    A $1\,093$ B $2\,186$ C $729$ D $364$

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    Réponse A. Sept termes, raison $3$ : $\dfrac{1 - 3^7}{1 - 3} = \dfrac{3^7 - 1}{2} = \dfrac{2\,186}{2} = 1\,093$ . La réponse B oublie de diviser par $2$ .

14. Question 14 sur 17$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 - 1}{n^2 + n} =$

    A $0$ B $+\infty$ C $3$ D $-1$

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    Réponse C. Même limite que le quotient des termes de plus haut degré, $\dfrac{3n^2}{n^2} = 3$ .

15. Question 15 sur 17La suite $\left(0{,}99^n\right)$

    A tend vers $+\infty$ B converge vers $0$ C converge vers $1$ D n'a pas de limite

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    Réponse B. $-1 < 0{,}99 < 1$ , donc $0{,}99^n \to 0$ , même si la raison est proche de $1$ (par exemple $0{,}99^{1\,000} \approx 0{,}000\,04$ ).

16. Question 16 sur 17Pour la suite définie par $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ , la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ est

    A $f(x) = \sqrt x + 6$ B $f(x) = x + 6$ C $f(x) = \sqrt{n + 6}$ D $f(x) = \sqrt{x + 6}$

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    Réponse D. On remplace $u_n$ par $x$ dans la relation de récurrence.

17. Question 17 sur 17Si $u_n < 5$ pour tout $n$ , et si $(u_n)$ converge vers $\ell$ , alors

    A $\ell < 5$ B $\ell \leq 5$ C $\ell = 5$ D $\ell > 5$

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    Réponse B. Par passage à la limite, les inégalités strictes deviennent larges : $\ell \leq 5$ . Par exemple, $5 - \dfrac1n < 5$ , et sa limite vaut $5$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.