Suites bornées, suites périodiques, comparaison

3.1 Suites majorées, minorées, bornées

Définitions. On dit que la suite $(u_n)$ est :

• majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$ ; $M$ est un majorant de la suite ;
• minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$ ; $m$ est un minorant ;
• bornée si elle est à la fois majorée et minorée : $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$.

Graphiquement, une suite bornée a tous ses points $M_n(n\,;u_n)$ dans la bande comprise entre les droites d'équations $y = m$ et $y = M$.

Méthode. Pour montrer que $M$ est un majorant, on étudie le signe de $u_n - M$ ; pour un minorant $m$, le signe de $u_n - m$.

Exemple 13. Soit $u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}$ (exemple 12). Pour tout $n$, $u_n - 2 = \dfrac{2n + 1 - 2(n + 3)}{n + 3} = \dfrac{-5}{n + 3} < 0$, donc $u_n < 2$ : la suite est majorée par $2$. Comme elle est croissante, $u_n \geq u_0 = \dfrac13$. Ainsi $\dfrac13 \leq u_n < 2$ pour tout $n$ : la suite est bornée.

Exemple 14. Soit $u_n = n^2 - 3n$ (exemple 1). Elle est croissante à partir du rang $1$, donc $u_n \geq u_1 = -2$ pour $n \geq 1$, et $u_0 = 0 \geq -2$ : la suite est minorée par $-2$. Elle n'est pas majorée : pour $n \geq 4$, $n - 3 \geq 1$, donc $u_n = n(n - 3) \geq n$, et les termes dépassent n'importe quel réel.

Propriété. Une suite croissante est minorée par son premier terme. Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

3.2 Suites périodiques

Définition. Soit $p$ un entier naturel non nul. La suite $(u_n)$ est périodique de période $p$ si $u_{n+p} = u_n$ pour tout $n$ : les termes se répètent tous les $p$ rangs.

Exemple 15. La suite $\big((-1)^n\big)$ est périodique de période $2$. La suite $w_n = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$, qui vaut $1, 0, -1, 0, 1, 0, \ldots$, est périodique de période $4$, car $\cos\left(\dfrac{(n + 4)\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)$.

Exemple 16 (une suite définie par récurrence). Soit $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = 1 - u_n$. Les termes valent $3, -2, 3, -2, \ldots$ En effet, pour tout $n$, $u_{n+2} = 1 - u_{n+1} = 1 - (1 - u_n) = u_n.$ La suite est périodique de période $2$.

Une suite périodique ne prend qu'un nombre fini de valeurs : elle est bornée.

3.3 Comparaison de deux suites

Définition. On dit que $(u_n) \leq (v_n)$ si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$. On le dit aussi « à partir d'un certain rang » quand l'inégalité n'est vraie que pour $n \geq p$.

Méthode. On étudie le signe de la différence $u_n - v_n$.

Exemple 17. Soit $u_n = n^2$ et $v_n = 3n - 2$. Pour tout $n$, $u_n - v_n = n^2 - 3n + 2 = (n - 1)(n - 2).$ Si $n \leq 1$, les deux facteurs sont négatifs ou nuls ; si $n \geq 2$, ils sont positifs ou nuls. Dans tous les cas le produit est positif ou nul : $u_n \geq v_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, avec égalité pour $n = 1$ et $n = 2$.

Remarque : pour un réel $x$ compris strictement entre $1$ et $2$, on aurait $x^2 - 3x + 2 < 0$ ; mais il n'y a aucun entier entre $1$ et $2$.