Seconds membres variés, avec une indication

Le programme S2-S4 demande de savoir résoudre les équations du premier et du second ordre avec second membre, et précise : « on donnera toujours une indication pour la détermination d'une solution particulière ». La méthode est toujours la même : on remplace la forme indiquée dans l'équation, puis on identifie les coefficients.

6.1 Second membre polynôme ou exponentielle

Exemple 19. Résoudre $y'' - 3y' + 2y = 2x - 1$, en cherchant une solution particulière affine.

Pour $y_p = mx + p$ : $y_p' = m$ et $y_p'' = 0$, donc $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = 2mx + (2p - 3m)$. Par identification avec $2x - 1$ : $2m = 2$ et $2p - 3m = -1$, donc $m = 1$, $p = 1$ et $y_p(x) = x + 1$. Avec l'exemple 9, les solutions sont $y = \lambda e^{x} + \mu e^{2x} + x + 1$.

Exemple 20. Résoudre $y'' - 4y = 3e^{x}$, en cherchant une solution particulière de la forme $ae^{x}$.

Pour $y_p = ae^{x}$ : $y_p'' - 4y_p = ae^{x} - 4ae^{x} = -3ae^{x}$. On veut $-3a = 3$, donc $a = -1$ et $y_p(x) = -e^{x}$. Avec l'exemple 11, les solutions sont $y = \lambda e^{2x} + \mu e^{-2x} - e^{x}$.

6.2 Quand l'indication contient un facteur $x$

Exemple 21. Résoudre $y'' - 4y = 4e^{2x}$.

On essaie $ae^{2x}$ : $4ae^{2x} - 4ae^{2x} = 0$, quel que soit $a$. Cette forme ne peut pas convenir, car $e^{2x}$ est déjà solution de l'équation homogène. L'énoncé indique alors une autre forme : $y_p = axe^{2x}$. $y_p' = a(1 + 2x)e^{2x}$ et $y_p'' = a(4 + 4x)e^{2x}$, donc $y_p'' - 4y_p = 4ae^{2x}$. On veut $4a = 4$ : $a = 1$ et $y_p(x) = xe^{2x}$. Solutions : $y = \lambda e^{2x} + \mu e^{-2x} + xe^{2x}$.

Exemple 22 (premier ordre). Résoudre $y' + 2y = e^{-2x}$, en cherchant une solution particulière de la forme $axe^{-2x}$.

$y_p' = a(1 - 2x)e^{-2x}$, donc $y_p' + 2y_p = ae^{-2x}$. On veut $a = 1$ : $y_p(x) = xe^{-2x}$. Solutions : $y = \lambda e^{-2x} + xe^{-2x} = (x + \lambda)\,e^{-2x}$.

À retenir. L'indication de l'énoncé est faite pour être suivie : on n'a pas à deviner la forme. Si une forme « naturelle » donne $0 =$ second membre, c'est qu'elle est solution de l'équation homogène ; l'énoncé propose alors une forme multipliée par $x$.