QCM · Chapitre 6

Équations différentielles

18 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 13 bonnes réponses sur 18. Tentatives illimitées.

Programme de S2 Questions des séries S2, S4, S2A et S5.

18 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 18Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation $y' = -2y$ sont les fonctions
$x \longmapsto \lambda e^{2x}$ $x \longmapsto \lambda e^{-2x}$ $x \longmapsto e^{-2x} + \lambda$ $x \longmapsto -2x + \lambda$

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Réponse B. Les solutions de $y' = ay$ sont les fonctions $\lambda e^{ax}$ , ici avec $a = -2$ .
Question 2 sur 18La solution de $y' = 3y$ telle que $y(0) = 2$ est
$x \longmapsto 3e^{2x}$ $x \longmapsto 2e^{3x}$ $x \longmapsto e^{3x} + 1$ $x \longmapsto 6e^{3x}$

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Réponse B. $y = \lambda e^{3x}$ et $y(0) = \lambda = 2$ . La réponse A inverse les rôles de $a$ et de la condition initiale.
Question 3 sur 18Les solutions de l'équation $2y' + y = 0$ sont les fonctions
$x \longmapsto \lambda e^{-\frac{x}{2}}$ $x \longmapsto \lambda e^{-2x}$ $x \longmapsto \lambda e^{\frac{x}{2}}$ $x \longmapsto \lambda e^{2x}$

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Réponse A. L'équation s'écrit $y' = -\frac12\,y$ . Attention au signe et au quotient.
Question 4 sur 18Une fonction $f$ est solution d'une équation $y' = ay$ , avec $f(0) = 2$ et $f(1) = 2e^{-1}$ . Alors $a$ vaut
$-1$ $1$ $2$ $e^{-1}$

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Réponse A. $f(x) = 2e^{ax}$ , donc $f(1) = 2e^{a} = 2e^{-1}$ et $a = -1$ .
Question 5 sur 18Les solutions de l'équation $y' + 2y = 6$ sont les fonctions
$x \longmapsto \lambda e^{-2x} + 3$ $x \longmapsto \lambda e^{2x} + 3$ $x \longmapsto \lambda e^{-2x} + 6$ $x \longmapsto \lambda e^{-2x} - 3$

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Réponse A. La solution constante vérifie $2y = 6$ , donc $y = 3$ ; on lui ajoute les solutions $\lambda e^{-2x}$ de $y' + 2y = 0$ .
Question 6 sur 18Toutes les solutions de l'équation $y' = -0{,}5\,y + 10$ ont pour limite en $+\infty$
$0$ $20$ $10$ $+\infty$

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Réponse B. Les solutions sont $\lambda e^{-0{,}5x} + 20$ , car la solution constante vérifie $0{,}5\,y = 10$ . Le terme $\lambda e^{-0{,}5x}$ tend vers $0$ .
Question 7 sur 18L'équation $y' - y = -x$ admet une solution particulière affine. C'est
$x \longmapsto x$ $x \longmapsto x + 1$ $x \longmapsto -x$ $x \longmapsto x - 1$

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Réponse B. Pour $y = mx + p$ : $m - mx - p = -x$ , donc $m = 1$ et $p = m = 1$ .
Question 8 sur 18L'équation caractéristique de $y'' - 5y' + 6y = 0$ est
$r^2 + 5r + 6 = 0$ $r^2 - 5r + 6 = 0$ $-5r + 6 = 0$ $r^2 - 5r = 0$

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Réponse B. On remplace $y''$ par $r^2$ , $y'$ par $r$ et $y$ par $1$ .
Question 9 sur 18Les solutions de $y'' - 5y' + 6y = 0$ sont les fonctions
$x \longmapsto \lambda e^{2x} + \mu e^{3x}$ $x \longmapsto \lambda e^{-2x} + \mu e^{-3x}$ $x \longmapsto (\lambda x + \mu)e^{2x}$ $x \longmapsto \lambda\cos 2x + \mu\sin 3x$

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Réponse A. Les racines de $r^2 - 5r + 6 = 0$ sont $2$ et $3$ . La réponse B change le signe des racines.
Question 10 sur 18Les solutions de $y'' + 4y' + 4y = 0$ sont les fonctions
$x \longmapsto \lambda e^{2x} + \mu e^{-2x}$ $x \longmapsto (\lambda x + \mu)e^{-2x}$ $x \longmapsto (\lambda x + \mu)e^{2x}$ $x \longmapsto \lambda\cos 2x + \mu\sin 2x$

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Réponse B. $r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2$ : racine double $-2$ .
Question 11 sur 18La solution de $y'' - y = 0$ telle que $y(0) = 0$ et $y'(0) = 2$ est
$x \longmapsto e^{x} - e^{-x}$ $x \longmapsto 2e^{x}$ $x \longmapsto e^{x} + e^{-x}$ $x \longmapsto 2\sin x$

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Réponse A. $y = \lambda e^{x} + \mu e^{-x}$ , avec $\lambda + \mu = 0$ et $\lambda - \mu = 2$ , donc $\lambda = 1$ et $\mu = -1$ .
Question 12 sur 18Les solutions de $y'' + 9y = 0$ sont les fonctions
$x \longmapsto \lambda e^{3x} + \mu e^{-3x}$ $x \longmapsto \lambda\cos 3x + \mu\sin 3x$ $x \longmapsto \lambda\cos 9x + \mu\sin 9x$ $x \longmapsto (\lambda x + \mu)e^{3x}$

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Réponse B. C'est $y'' + \omega^2 y = 0$ avec $\omega = 3$ , et non $9$ .
Question 13 sur 18Les solutions de $y'' + 2y' + 5y = 0$ sont les fonctions
$x \longmapsto e^{-x}(\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x)$ $x \longmapsto e^{x}(\lambda\cos 2x + \mu\sin 2x)$ $x \longmapsto e^{-2x}(\lambda\cos x + \mu\sin x)$ $x \longmapsto \lambda e^{-x} + \mu e^{2x}$

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Réponse A. $\Delta = -16$ , $\alpha = -\frac{2}{2} = -1$ et $\beta = \frac{\sqrt{16}}{2} = 2$ .
Question 14 sur 18Une solution particulière de $y'' + 3y' + 2y = 6$ est la fonction constante égale à
$6$ $2$ $3$ $\dfrac12$

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Réponse C. Pour une constante, $y'' = y' = 0$ , et il reste $2y = 6$ .
Question 15 sur 18L'équation $y'' + y = 3\cos 2x$ admet une solution particulière de la forme $a\cos 2x$ . C'est
$x \longmapsto \cos 2x$ $x \longmapsto -\cos 2x$ $x \longmapsto 3\cos 2x$ $x \longmapsto -3\cos 2x$

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Réponse B. $(a\cos 2x)'' + a\cos 2x = -4a\cos 2x + a\cos 2x = -3a\cos 2x$ , donc $-3a = 3$ et $a = -1$ .
Question 16 sur 18L'équation $y'' - y' - 2y = 2x + 1$ admet une solution particulière affine. C'est
$x \longmapsto -x$ $x \longmapsto x$ $x \longmapsto x + 1$ $x \longmapsto -x + 1$

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Réponse A. Pour $y = mx + p$ : $-m - 2mx - 2p = 2x + 1$ , donc $m = -1$ , puis $1 - 2p = 1$ et $p = 0$ .
Question 17 sur 18L'équation $y'' - 4y = 3e^{x}$ admet une solution particulière de la forme $ae^{x}$ . C'est
$x \longmapsto e^{x}$ $x \longmapsto -e^{x}$ $x \longmapsto 3e^{x}$ $x \longmapsto -3e^{x}$

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Réponse B. $ae^{x} - 4ae^{x} = -3ae^{x}$ , donc $-3a = 3$ et $a = -1$ .
Question 18 sur 18Pour l'équation $y'' - y = 2e^{x}$ , on cherche une solution particulière de la forme $axe^{x}$ . Le réel $a$ vaut
$2$ $1$ $\dfrac12$ aucun réel ne convient

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Réponse B. $(axe^{x})'' - axe^{x} = a(x + 2)e^{x} - axe^{x} = 2ae^{x}$ , donc $a = 1$ . La forme $ae^{x}$ ne marcherait pas : $e^{x}$ est solution de l'équation homogène.