Calcul de volumes

L'espace est muni d'un repère orthonormé. L'unité de volume (u.v.) est le volume du cube construit sur les trois vecteurs unités.

5.1 Volume à l'aide des sections planes

Un solide est compris entre les plans d'équations $z = a$ et $z = b$, avec $a < b$. Pour chaque $z$ de $[a;b]$, le plan de cote $z$ coupe le solide selon une surface d'aire $S(z)$.

Formule (programme officiel). Si la fonction $S$ est continue sur $[a;b]$, le volume du solide est $V = \int_a^b S(z)\,dz \text{ u.v.}$

Idée. On découpe le solide en tranches très fines d'épaisseur $dz$. Chaque tranche a un volume proche de $S(z)\,dz$ (aire de la base fois épaisseur), et on additionne : c'est le rôle de l'intégrale.

Exemple 1 (pyramide et cône). Une pyramide (ou un cône) a pour sommet $O$, pour hauteur $h$ et pour base une surface d'aire $B$, dans le plan $z = h$. La section à la cote $z$ est une réduction de la base, de rapport $\dfrac{z}{h}$ : son aire est $S(z) = B\left(\dfrac{z}{h}\right)^2$. Donc $V = \int_0^h \frac{B}{h^2}\,z^2\,dz = \frac{B}{h^2} \times \frac{h^3}{3} = \frac{Bh}{3}.$ On retrouve la formule connue depuis le collège.

Exemple 2 (la boule). Une boule de centre $O$ et de rayon $R$ est coupée par le plan de cote $z$ ($-R \leq z \leq R$) selon un disque de rayon $r(z) = \sqrt{R^2 - z^2}$ (théorème de Pythagore). Donc $S(z) = \pi(R^2 - z^2)$ et $V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - z^2)\,dz = \pi\left[R^2z - \frac{z^3}{3}\right]_{-R}^{R} = \pi\left(\frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3}\right) = \frac43\pi R^3.$

5.2 Solides de révolution

Soit $f$ continue sur $[a;b]$. En faisant tourner la courbe de $f$ autour de l'axe des abscisses, on obtient un solide de révolution. Sa section par le plan perpendiculaire à l'axe au point d'abscisse $x$ est un disque de rayon $|f(x)|$, d'aire $\pi f(x)^2$.

Formule (donnée à l'élève par le programme). $V = \pi\int_a^b f(x)^2\,dx \text{ u.v.}$

Exemple 3. La courbe de $f(x) = \sqrt x$ sur $[0;4]$ tourne autour de l'axe des abscisses. Le solide obtenu, en forme de bol, a pour volume $V = \pi\int_0^4 \left(\sqrt x\right)^2 dx = \pi\int_0^4 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 8\pi \text{ u.v.}$

Exemple 4 (cône de révolution). Avec $f(x) = \dfrac{r}{h}\,x$ sur $[0;h]$, le segment tourne et engendre un cône de hauteur $h$ et de rayon de base $r$ : $V = \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}\,x^2\,dx = \frac{\pi r^2 h}{3}.$

Exemple 5. Avec $f(x) = e^{-x}$ sur $[0;1]$ : $V = \pi\displaystyle\int_0^1 e^{-2x}\,dx = \pi\left[-\frac{e^{-2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}\left(1 - e^{-2}\right) \approx 1{,}36$ u.v.

5.3 Les unités

Si l'unité de longueur du repère orthonormé vaut $p$ cm, alors $1$ u.v. $= p^3$ cm³.

Exemple 6. Dans l'exemple 3, avec une unité de $2$ cm : $1$ u.v. $= 8$ cm³ et $V = 8\pi \times 8 = 64\pi \approx 201$ cm³.