Propriétés de l'intégrale

Dans toute la leçon, $f$ et $g$ sont continues sur un intervalle $I$, et $a$, $b$, $c$ sont des réels de $I$.

2.1 Relation de Chasles

Propriété. $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx.$

Démonstration. Avec une primitive $F$ : $F(c) - F(a) = \big(F(b) - F(a)\big) + \big(F(c) - F(b)\big)$.

Interprétation graphique. Pour $f$ positive et $a < b < c$, l'aire entre $a$ et $c$ est la somme de l'aire entre $a$ et $b$ et de l'aire entre $b$ et $c$.

Exemple 1. Calculer $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$.

On ne connaît pas directement de primitive de $|x - 1|$ sur $[0;3]$, mais on sait l'écrire sans valeur absolue sur chaque morceau : $|x - 1| = 1 - x$ sur $[0;1]$ et $|x - 1| = x - 1$ sur $[1;3]$. Par la relation de Chasles : $\int_0^3 |x-1|\,dx = \int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_1^3 = \frac12 + 2 = \frac52.$ Vérification graphique : deux triangles, d'aires $\frac12$ et $2$.

2.2 Linéarité

Propriété. Pour tout réel $k$ : $\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx \qquad\qquad \int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx.$

Démonstration. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$, alors $F + G$ est une primitive de $f + g$ et $kF$ une primitive de $kf$.

Exemple 2. $\displaystyle\int_1^2 \left(3x^2 - \frac{4}{x}\right)dx = 3\int_1^2 x^2\,dx - 4\int_1^2 \frac{dx}{x} = 3 \times \frac73 - 4\ln 2 = 7 - 4\ln 2.$

Attention. Il n'y a pas de formule pour l'intégrale d'un produit : en général, $\displaystyle\int_a^b f(x)g(x)\,dx \neq \int_a^b f(x)\,dx \times \int_a^b g(x)\,dx$. Pour les produits, on utilisera l'intégration par parties (leçon 3).

2.3 Positivité

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \geq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$.

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$. Comme $F' = f \geq 0$ sur $[a;b]$, $F$ est croissante sur $[a;b]$, donc $F(b) \geq F(a)$.

Attention.

• L'ordre des bornes compte : $\displaystyle\int_1^0 x\,dx = -\frac12 < 0$, alors que $x \geq 0$ sur $[0;1]$.
• La réciproque est fausse : $\displaystyle\int_{-1}^{2} x\,dx = \frac32 > 0$, alors que $x$ prend des valeurs négatives sur $[-1;2]$.

Fonction négative. Si $a \leq b$ et $f \leq 0$ sur $[a;b]$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq 0$, et l'aire du domaine compris entre la courbe et l'axe des abscisses vaut $\displaystyle-\int_a^b f(x)\,dx$ (la courbe de $-f$ est symétrique de celle de $f$ par rapport à l'axe des abscisses). Par exemple, $\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi} \sin x\,dx = -2$ : l'arche située sous l'axe a pour aire $2$ u.a.

2.4 Intégration et inégalités

Propriété. Si $a \leq b$ et si $f \leq g$ sur $[a;b]$, alors $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx.$

Démonstration. $g - f \geq 0$ sur $[a;b]$, donc $\displaystyle\int_a^b (g - f) \geq 0$ par positivité, et on conclut par linéarité.

Interprétation graphique. Si $0 \leq f \leq g$, le domaine sous la courbe de $f$ est contenu dans le domaine sous la courbe de $g$ : son aire est plus petite. On dit qu'on peut intégrer une inégalité, à condition que les bornes soient dans l'ordre croissant.

Exemple 3. Sur $[0;1]$, on a $x^2 \leq x$, donc $-x \leq -x^2$, et comme $\exp$ est croissante, $e^{-x} \leq e^{-x^2}$. En intégrant : $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \geq \int_0^1 e^{-x}\,dx = \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 = 1 - \frac1e.$

2.5 Inégalité de la moyenne

Propriété (inégalité de la moyenne). Si $a \leq b$ et si $m \leq f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $[a;b]$, alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b - a).$

Démonstration. On intègre l'inégalité $m \leq f \leq M$ entre $a$ et $b$, avec $\displaystyle\int_a^b m\,dx = m(b-a)$.

Interprétation graphique. Pour $f$ positive, l'aire sous la courbe est comprise entre celle du rectangle de hauteur $m$ et celle du rectangle de hauteur $M$, tous deux de base $[a;b]$.

Autre forme. Si $|f(x)| \leq M$ sur l'intervalle d'extrémités $a$ et $b$, alors $\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq M\,|b - a|$.

Exemple 4. Encadrer $I = \displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$.

On ne connaît pas de primitive de $e^{-x^2}$. Sur $[0;1]$, $x^2$ croît de $0$ à $1$, donc $e^{-x^2}$ décroît de $1$ à $e^{-1}$ : $\dfrac1e \leq e^{-x^2} \leq 1$. L'inégalité de la moyenne donne $\dfrac1e \leq I \leq 1$. Avec l'exemple 3, qui est plus précis à gauche : $1 - \frac1e \leq I \leq 1, \quad\text{soit}\quad 0{,}63 \leq I \leq 1.$

2.6 Intégrale et valeur absolue

Propriété. Si $a \leq b$ : $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leq \int_a^b |f(x)|\,dx.$

Démonstration. La fonction $|f|$ est continue. Pour tout $x$, $-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|$. On intègre : $\displaystyle-\int_a^b |f| \leq \int_a^b f \leq \int_a^b |f|$.

Exemple 5. $\left|\displaystyle\int_0^1 e^{-x}\cos(5x)\,dx\right| \leq \displaystyle\int_0^1 e^{-x}|\cos(5x)|\,dx \leq \int_0^1 e^{-x}\,dx = 1 - \frac1e$, car $|\cos(5x)| \leq 1$.