L'intégrale d'une fonction continue

1.1 Définition

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a$, $b$ deux réels de $I$. La fonction $f$ admet des primitives sur $I$. Si $F$ et $G$ sont deux d'entre elles, il existe une constante $C$ telle que $G = F + C$, donc $G(b) - G(a) = \big(F(b) + C\big) - \big(F(a) + C\big) = F(b) - F(a).$ Le nombre $F(b) - F(a)$ ne dépend donc pas de la primitive choisie.

Définition. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$ et $b$ deux réels de $I$, et $F$ une primitive de $f$ sur $I$. On appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$ le réel $F(b) - F(a)$. On le note $\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a).$

Vocabulaire et notations.

• $a$ et $b$ sont les bornes de l'intégrale. On ne suppose pas $a < b$.
• La lettre $x$ est une variable muette : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du$. Le symbole $dx$ indique la variable par rapport à laquelle on intègre.
• Directement à partir de la définition : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ et $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$.

Méthode. Pour calculer une intégrale : on cherche une primitive $F$ (chapitres 2 et 3), on l'écrit entre crochets, puis on calcule $F(b) - F(a)$, la borne du haut moins la borne du bas.

1.2 Premiers calculs

Exemple 1. $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} - 0 = \frac83.$

Exemple 2. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2.$

Exemple 3. $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln x\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1$ et $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = \Big[e^x\Big]_0^1 = e - 1.$

Exemple 4. $\displaystyle\int_2^0 x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_2^0 = 0 - 2 = -2.$ La borne du bas est plus grande que celle du haut : on calcule quand même « haut moins bas ».

Erreur fréquente. Oublier les crochets et écrire directement $\frac{x^3}{3}$ : une intégrale est un nombre, pas une fonction.

1.3 Interprétation graphique : l'aire sous la courbe

Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, I, J)$. L'unité d'aire (notée u.a.) est l'aire du rectangle construit sur $OI$ et $OJ$.

Propriété (interprétation géométrique). Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$, avec $a < b$. L'intégrale $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$.

Pourquoi ? (idée de la démonstration). Pour $x$ dans $[a;b]$, notons $A(x)$ l'aire du domaine compris entre $a$ et $x$. Quand on passe de $x$ à $x + h$ ($h > 0$ petit), on ajoute une bande étroite. Si $m_h$ et $M_h$ sont la plus petite et la plus grande valeur de $f$ sur $[x;x+h]$, cette bande contient un rectangle d'aire $m_h \times h$ et elle est contenue dans un rectangle d'aire $M_h \times h$ : $m_h \leq \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \leq M_h.$ Comme $f$ est continue, $m_h$ et $M_h$ tendent vers $f(x)$ quand $h$ tend vers $0$. Donc $A'(x) = f(x)$ : la fonction aire $A$ est une primitive de $f$, et $A(a) = 0$. Ainsi $A(b) = A(b) - A(a) = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Exemple 5 (vérification par la géométrie). $\displaystyle\int_0^2 (x+1)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + x\right]_0^2 = 2 + 2 = 4.$

Le domaine est un trapèze de bases $f(0) = 1$ et $f(2) = 3$, et de hauteur $2$. Son aire vaut $\dfrac{(1 + 3) \times 2}{2} = 4$ u.a. Les deux calculs concordent.

Exemple 6. D'après l'exemple 1, le domaine sous la parabole $y = x^2$, entre $x = 0$ et $x = 2$, a pour aire $\dfrac83 \approx 2{,}67$ u.a. D'après l'exemple 2, une arche de sinusoïde a pour aire exactement $2$ u.a.

Une intégrale sans primitive connue. L'aire donne parfois la valeur d'une intégrale qu'on ne sait pas calculer avec une primitive. La courbe de $x \mapsto \sqrt{4 - x^2}$ sur $[-2;2]$ est le demi-cercle de centre $O$ et de rayon $2$ (au-dessus de l'axe). Donc, dans un repère orthonormé, $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2}\,dx = \frac{\pi \times 2^2}{2} = 2\pi.$

1.4 La fonction $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$

Théorème (programme officiel). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ contenant le point $a$. La fonction $\Phi : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui prend la valeur $0$ au point $a$.

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Pour tout $x$ de $I$, $\Phi(x) = F(x) - F(a)$. La fonction $\Phi$ diffère de $F$ d'une constante : c'est une primitive de $f$, et $\Phi(a) = 0$. Elle est unique, car une primitive est déterminée par sa valeur en un point (chapitre 2).

Conséquence. $\Phi$ est dérivable sur $I$ et $\Phi'(x) = f(x)$. On peut donc étudier $\Phi$ sans connaître de formule pour elle.

Exemple 7. Pour $x > 0$, $\displaystyle\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$ : c'est la définition du chapitre 3 (la primitive de $\frac1t$ qui s'annule en $1$), écrite avec une intégrale.

Exemple 8. Soit $G(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ pour $x$ réel. On ne connaît aucune formule pour $G$. Pourtant :

• $G$ est la primitive de $x \mapsto e^{-x^2}$ qui s'annule en $0$ ;
• $G'(x) = e^{-x^2} > 0$, donc $G$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ ;
• comme $G(0) = 0$, on a $G(x) > 0$ pour $x > 0$ et $G(x) < 0$ pour $x < 0$.

Interprétation physique. Si un mobile se déplace sur un axe, avec une position $x(t)$ et une vitesse $v(t) = x'(t)$ continue, alors $x$ est une primitive de $v$ et $\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt = x(t_2) - x(t_1) :$ l'intégrale de la vitesse est le déplacement entre les instants $t_1$ et $t_2$.