Compléments pour les séries S1, S3 et S1A

6.1 Exponentielle de base $a$

Définition (programme S1-S3). Soit $a$ un réel strictement positif, différent de $1$. Pour tout réel $x$, on pose $a^x = e^{x\ln a}.$ Pour $x$ rationnel, c'est la puissance de la leçon 5, puisque $a^x = e^{x\ln a}$. La fonction $x \mapsto a^x$ est l'exponentielle de base $a$. Pour $a = e$, on retrouve $e^x$.

Propriétés. Pour tous réels $x$, $y$ et $a > 0$, $b > 0$ : $a^{x+y} = a^x a^y \qquad (a^x)^y = a^{xy} \qquad (ab)^x = a^x b^x \qquad \ln(a^x) = x\ln a.$

Dérivée et variations. $(a^x)' = \ln a \times e^{x\ln a} = (\ln a)\,a^x$.

• Si $a > 1$, $\ln a > 0$ : $x \mapsto a^x$ est strictement croissante, de limite $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$.
• Si $0 < a < 1$, $\ln a < 0$ : elle est strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$ et $0$ en $+\infty$.

Les courbes de $x \mapsto a^x$ et de $x \mapsto \left(\frac1a\right)^x = a^{-x}$ sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

6.2 Logarithme de base $a$

Définition (programme S1-S3). Pour $a > 0$, $a \neq 1$, et $x > 0$ : $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.$

• $\log_a$ a les mêmes propriétés algébriques que $\ln$ et $\log_a a = 1$. Le logarithme décimal est $\log = \log_{10}$.
• $\log_a$ est la réciproque de l'exponentielle de base $a$ : $\quad y = a^x \iff x = \log_a y$ (avec $y > 0$).
• $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$.

Exemple 19. $\log_2 8 = \dfrac{\ln 8}{\ln 2} = \dfrac{3\ln 2}{\ln 2} = 3$. Et $3^x = 7 \iff x\ln 3 = \ln 7 \iff x = \dfrac{\ln 7}{\ln 3} = \log_3 7 \approx 1{,}771$.

Exemple 20. Résoudre $2^x > 3^{x-1}$.

Les deux membres sont strictement positifs et $\ln$ est strictement croissante : $x\ln 2 > (x-1)\ln 3$, soit $x(\ln 3 - \ln 2) < \ln 3$. Comme $\ln 3 - \ln 2 > 0$, on obtient $x < \dfrac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} \approx 2{,}71$.

6.3 Puissance d'exposant réel

Définition. Pour $x > 0$ et $\alpha$ réel, on pose $x^\alpha = e^{\alpha\ln x}$. Pour $\alpha$ rationnel, on retrouve la leçon 5.

Tout ce qui a été dit pour $x^r$ reste vrai : mêmes règles de calcul, $(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha-1}$, même tableau de variations selon le signe de $\alpha$.

Exemple. $\left(x^{\sqrt2}\right)' = \sqrt2\,x^{\sqrt2-1}$ sur $]0;+\infty[$.

6.4 Croissance comparée de fonctions

Théorème. Pour tout réel $\alpha > 0$ et tout réel $a > 1$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \qquad \lim_{x\to0^+} x^\alpha\ln x = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^\alpha} = +\infty \qquad \lim_{x\to+\infty} x^\alpha e^{-x} = 0 \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{a^x}{x^\alpha} = +\infty.$

Les quatre premières se démontrent exactement comme à la leçon 5. Pour la dernière : $\dfrac{a^x}{x^\alpha} = \dfrac{e^{x\ln a}}{x^\alpha} = (\ln a)^\alpha \times \dfrac{e^X}{X^\alpha}$ avec $X = x\ln a \to +\infty$, car $\ln a > 0$.

La hiérarchie à retenir. En $+\infty$, pour $\alpha > 0$ et $a > 1$ : $\ln x$ est « négligeable » devant $x^\alpha$, qui est lui-même négligeable devant $a^x$.

Ces comparaisons s'appliqueront aux suites de référence $\ln n$, $n^\alpha$ et $a^n$ au chapitre 4.

6.5 Fonctions composées

Exemple 21. Étudier $f(x) = x^x$ sur $]0;+\infty[$.

Par définition, $f(x) = e^{x\ln x}$.

Limites. En $0^+$ : $x\ln x \to 0$, et $\exp$ est continue en $0$, donc $f(x) \to e^0 = 1$. En $+\infty$ : $x\ln x \to +\infty$, donc $f(x) \to +\infty$.

Dérivée. $(x\ln x)' = \ln x + 1$, donc $f'(x) = (\ln x + 1)\,x^x$, du signe de $\ln x + 1$. Or $\ln x + 1 \geq 0 \iff x \geq e^{-1}$.

Variations. $f$ est décroissante sur $\left]0;\frac1e\right]$ et croissante sur $\left[\frac1e;+\infty\right[$. Son minimum vaut $f\left(\frac1e\right) = e^{-\frac1e} \approx 0{,}692$.