Fonctions puissances et logarithme décimal

5.1 Rappels du chapitre 2

La racine $n$-ième, les puissances d'exposant rationnel et leur dérivée ont été définies au chapitre 2. On les rappelle brièvement.

• Racine $n$-ième ($n \geq 2$ entier). C'est la réciproque de la bijection $x \mapsto x^n$ de $[0;+\infty[$ sur $[0;+\infty[$ : pour $y \geq 0$, $y^{\frac1n}$ est l'unique réel $x \geq 0$ tel que $x^n = y$. Par exemple, $8^{\frac13} = 2$ et $81^{\frac14} = 3$.
• Puissance rationnelle. Pour $x > 0$ et $r = \dfrac pq$ ($p$ entier relatif, $q$ entier naturel non nul), $x^r = \left(x^{\frac1q}\right)^p$. Les règles de calcul des puissances entières restent vraies (admis). Par exemple, $4^{\frac32} = \left(4^{\frac12}\right)^3 = 2^3 = 8$.
• Dérivée. $(x^r)' = r\,x^{r-1}$ sur $]0;+\infty[$, et $(u^r)' = r\,u'\,u^{r-1}$ si $u > 0$.

Ce chapitre apporte trois nouveautés : le lien avec $\ln$ et $\exp$, les variations et limites des fonctions puissances, et les croissances comparées.

5.2 Lien avec $\ln$ et $\exp$

Propriété. Pour tout $x > 0$ et tout rationnel $r$ : $\ln(x^r) = r\ln x \qquad \text{donc} \qquad x^r = e^{r\ln x}.$

Démonstration. Soit $q \geq 1$ entier. Comme $\left(x^{\frac1q}\right)^q = x$, on a $q\ln\left(x^{\frac1q}\right) = \ln x$, donc $\ln\left(x^{\frac1q}\right) = \frac1q\ln x$. Puis, pour $p$ entier relatif, $\ln\left(\left(x^{\frac1q}\right)^p\right) = p \times \frac1q\ln x = \frac pq\ln x$. Enfin $x^r = e^{\ln(x^r)} = e^{r\ln x}$.

Conséquence (annoncée à la leçon 3). Avec $x = e$ : $e^r = e^{r\ln e} = \exp(r)$ pour tout rationnel $r$. La notation $e^x$ est donc cohérente avec les puissances.

5.3 Les fonctions $x \mapsto x^r$

Soit $r$ un rationnel non nul. On étudie $f(x) = x^r = e^{r\ln x}$ sur $]0;+\infty[$.

Dérivée. On retrouve la formule du chapitre 2 : $f'(x) = \dfrac{r}{x}\,e^{r\ln x} = \dfrac{r}{x}\,x^r = r\,x^{r-1}$.

Variations et limites.

Justification des limites : $x^r = e^{r\ln x}$, et $r\ln x$ tend vers $\pm\infty$ selon le signe de $r$.

Toutes ces courbes passent par le point $(1\,;1)$. Pour $r > 1$, la courbe ressemble à celle de $x^2$ ; pour $0 < r < 1$, à celle de $\sqrt x$ ; pour $r < 0$, à celle de $\frac1x$.

Exemple 15. Résoudre $x^{\frac23} = 4$ sur $]0;+\infty[$.

Les deux membres sont strictement positifs, et $\ln$ est strictement croissante : $x^{\frac23} = 4 \iff \dfrac23\ln x = \ln 4 = 2\ln 2 \iff \ln x = 3\ln 2 = \ln 8 \iff x = 8$. Contrôle : $8^{\frac23} = \left(8^{\frac13}\right)^2 = 2^2 = 4$.

5.4 Croissances comparées, cas général

Théorème (limites du programme). Pour tout rationnel $r > 0$ : $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^r} = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to0^+} x^r\ln x = 0 \qquad\qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^r} = +\infty.$

Démonstrations.

• $\dfrac{\ln x}{x^r} = \dfrac1r \times \dfrac{\ln(x^r)}{x^r} = \dfrac1r \times \dfrac{\ln X}{X}$ avec $X = x^r \to +\infty$. La limite vaut $0$.
• $x^r\ln x = \dfrac1r \times x^r\ln(x^r) = \dfrac1r \times X\ln X$ avec $X = x^r \to 0^+$. La limite vaut $0$.
• $\dfrac{e^x}{x^r} = \left(\dfrac{e^{x/r}}{x}\right)^r = \left(\dfrac1r \times \dfrac{e^X}{X}\right)^r$ avec $X = \frac xr \to +\infty$. La parenthèse tend vers $+\infty$, et sa puissance $r$ aussi.

Exemple 16. $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x\to0^+} \sqrt x\,\ln x = 0$ (cas $r = \frac12$).

5.5 Logarithme décimal

Définition. Le logarithme décimal, noté $\log$, est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $\log x = \frac{\ln x}{\ln 10}.$

C'est $\ln$ multipliée par la constante positive $\frac{1}{\ln 10}$. Elle a donc les mêmes propriétés algébriques ($\log(ab) = \log a + \log b$, etc.), elle est strictement croissante, et $(\log x)' = \dfrac{1}{x\ln 10}$. Sa propriété caractéristique : $\log(10^n) = n \quad \text{pour tout entier relatif } n. \qquad \text{Par exemple, } \log 1000 = 3 \text{ et } \log 0{,}01 = -2.$

Usages en physique et en chimie. Le logarithme décimal sert à exprimer des grandeurs qui varient sur plusieurs puissances de $10$, par exemple le pH d'une solution, $\text{pH} = -\log[\text{H}_3\text{O}^+]$, où la concentration est en $\text{mol}\cdot\text{L}^{-1}$.

Exemple 17. Une solution a pour concentration $[\text{H}_3\text{O}^+] = 2{,}5 \times 10^{-4}$. Son pH vaut $-\log(2{,}5) - \log(10^{-4}) = 4 - \log 2{,}5 \approx 3{,}60$.

Exemple 18. Combien de chiffres a le nombre $2^{100}$ ?

Un entier $N \geq 1$ a $k$ chiffres si et seulement si $10^{k-1} \leq N < 10^k$, c'est-à-dire $k - 1 \leq \log N < k$. Or $\log(2^{100}) = 100\log 2 \approx 30{,}10$. Donc $k - 1 = 30$ : $2^{100}$ a $31$ chiffres.