Second membre $A\cos\omega t + B\sin\omega t$

Le programme S1-S3 demande des exemples de résolution d'une équation du second ordre « avec un second membre de la forme $A\cos\alpha t + B\sin\alpha t$ ». Dans ce cours, la pulsation est notée $\omega$, pour ne pas la confondre avec le $\alpha$ de la leçon 4. La variable est $t$, comme en physique.

7.1 La méthode, sans indication

On considère $(E)$ : $ay'' + by' + cy = A\cos\omega t + B\sin\omega t$, avec $\omega > 0$. On cherche une solution particulière de la même forme : $y_p(t) = p\cos\omega t + q\sin\omega t.$ On a $y_p'' = -\omega^2 y_p$ et $y_p' = \omega(-p\sin\omega t + q\cos\omega t)$, donc $ay_p'' + by_p' + cy_p = \big[(c - a\omega^2)p + b\omega q\big]\cos\omega t + \big[(c - a\omega^2)q - b\omega p\big]\sin\omega t.$ En identifiant les coefficients de $\cos\omega t$ et de $\sin\omega t$, on obtient un système de deux équations à deux inconnues : $(c - a\omega^2)\,p + b\omega\,q = A, \qquad -b\omega\,p + (c - a\omega^2)\,q = B.$ Son déterminant vaut $(c - a\omega^2)^2 + (b\omega)^2$. Il n'est nul que si $b = 0$ et $c = a\omega^2$. Dans tous les autres cas, la méthode donne une solution particulière unique de cette forme.

Exemple 23 (oscillations forcées). Résoudre $y'' + 2y' + 5y = 10\cos t$.

• On cherche $y_p = p\cos t + q\sin t$. Ici $\omega = 1$ : $y_p'' + 2y_p' + 5y_p = (4p + 2q)\cos t + (4q - 2p)\sin t$.
• Système : $4p + 2q = 10$ et $4q - 2p = 0$. La seconde équation donne $p = 2q$, puis $10q = 10$ : $q = 1$ et $p = 2$. Donc $y_p(t) = 2\cos t + \sin t$.
• L'équation homogène est celle de l'exemple 15. Solutions : $y(t) = \underbrace{e^{-t}\big(\lambda\cos 2t + \mu\sin 2t\big)}_{\text{régime transitoire}} + \underbrace{2\cos t + \sin t}_{\text{régime permanent}}.$

7.2 Régime transitoire et régime permanent

Dans l'exemple 23, la partie $e^{-t}(\lambda\cos 2t + \mu\sin 2t)$ tend vers $0$ quand $t \to +\infty$, car elle est comprise entre $-(|\lambda| + |\mu|)\,e^{-t}$ et $(|\lambda| + |\mu|)\,e^{-t}$. Après un régime transitoire, toutes les solutions se rapprochent de $y_p(t) = 2\cos t + \sin t$, quelles que soient les conditions initiales : c'est le régime permanent. Le système oscille alors à la pulsation imposée par le second membre.

Amplitude du régime permanent. On pose $\varphi$ tel que $\cos\varphi = \dfrac{2}{\sqrt5}$ et $\sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt5}$. Avec la formule d'addition : $2\cos t + \sin t = \sqrt5\left(\cos t\cos\varphi + \sin t\sin\varphi\right) = \sqrt5\cos(t - \varphi).$ L'amplitude vaut $\sqrt5 \approx 2{,}24$.

Avec $y(0) = 0$ et $y'(0) = 0$, on trouve $\lambda = -2$ et $\mu = -\dfrac32$ : $y(t) = e^{-t}\left(-2\cos 2t - \dfrac32\sin 2t\right) + 2\cos t + \sin t$.

7.3 Le cas où la méthode échoue : la résonance

Exemple 24. On considère $y'' + y = 2\cos t$.

Ici $b = 0$ et $c = a\omega^2 = 1$ : pour $y_p = p\cos t + q\sin t$, on trouve $y_p'' + y_p = 0$, qui ne peut pas valoir $2\cos t$. Aucune fonction de cette forme ne convient, car $\cos t$ et $\sin t$ sont solutions de l'équation homogène. L'énoncé donne alors une indication. Vérifions que $t\sin t$ est solution : $(t\sin t)' = \sin t + t\cos t, \qquad (t\sin t)'' = 2\cos t - t\sin t,$ donc $(t\sin t)'' + t\sin t = 2\cos t$. Les solutions sont $y(t) = \lambda\cos t + \mu\sin t + t\sin t$.

Le terme $t\sin t$ oscille avec une amplitude qui grandit sans limite : c'est le phénomène de résonance, qui se produit quand on force un système non amorti à sa propre pulsation.