Devoir sur 20 : Équations différentielles

Devoir d'une heure, sur 20 points, commun aux séries S1-S3 et S2-S4. Calculatrice autorisée. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (7 points)

Modèle simplifié. Un patient reçoit un médicament par perfusion. On admet que la quantité $q(t)$ de médicament présente dans son sang, en milligrammes, vérifie $q'(t) = -0{,}25\,q(t) + 5 \qquad \text{et} \qquad q(0) = 0,$ où $t \geq 0$ est le temps écoulé, en heures, depuis le début de la perfusion.

Résoudre l'équation homogène $y' = -0{,}25\,y$ . (1 point)
Déterminer la solution constante de l'équation $y' = -0{,}25\,y + 5$ . (1 point)
En déduire que $q(t) = 20 - 20\,e^{-0{,}25t}$ . (1,5 point)
Montrer que $q$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$ . Interpréter. (1,5 point)
Au bout de combien de temps la quantité de médicament atteint-elle $15$ mg ? Donner la valeur exacte, puis une valeur approchée en heures et minutes. (2 points)

Exercice 2 (13 points)

Partie A

On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y'' + 2y' + 2y = 5\sin x$ .

Résoudre l'équation homogène $(E_0)$ : $y'' + 2y' + 2y = 0$ . (2 points)
Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie par $g(x) = a\cos x + b\sin x$ soit solution de $(E)$ . (2 points)
Montrer qu'une fonction $f$ , deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ , est solution de $(E)$ si et seulement si $f - g$ est solution de $(E_0)$ . (1,5 point)
En déduire les solutions de $(E)$ . (1 point)
Déterminer la solution $h$ de $(E)$ telle que $h(0) = -1$ et $h'(0) = 0$ . (2,5 points)

Partie B

On pose $u(x) = h(x) - g(x)$ pour tout réel $x$ .

Montrer que $-e^{-x} \leq u(x) \leq e^{-x}$ pour tout réel $x$ . (1 point)
En déduire la limite de $u$ en $+\infty$ . Que peut-on dire de $h(x)$ quand $x$ est grand ? (1,5 point)
Déterminer un réel $x_0$ tel que, pour tout $x \geq x_0$ , $|h(x) - g(x)| \leq 0{,}01$ . (1,5 point)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (1 pt) Les solutions de $y' = -0{,}25\,y$ sont les fonctions $t \longmapsto \lambda e^{-0{,}25t}$ , $\lambda \in \mathbb{R}$ .

2. (1 pt) Pour une constante, $y' = 0$ , donc $0{,}25\,y = 5$ et $y = 20$ .

3. (1,5 pt)

(0,5 pt) Les solutions sont $q(t) = \lambda e^{-0{,}25t} + 20$ (solution particulière plus solution de l'équation homogène).
(1 pt) $q(0) = \lambda + 20 = 0$ , donc $\lambda = -20$ et $q(t) = 20 - 20\,e^{-0{,}25t}$ .

4. (1,5 pt)

(0,5 pt) $q'(t) = 20 \times 0{,}25\,e^{-0{,}25t} = 5\,e^{-0{,}25t} > 0$ : $q$ est strictement croissante.
(0,5 pt) $e^{-0{,}25t} \to 0$ , donc $\lim_{t\to+\infty} q(t) = 20$ .
(0,5 pt) La quantité de médicament augmente et se stabilise vers $20$ mg, sans jamais les dépasser.

5. (2 pts)

(1 pt) $q(t) = 15 \iff 20\,e^{-0{,}25t} = 5 \iff e^{-0{,}25t} = \dfrac14 \iff -0{,}25\,t = -\ln 4 \iff t = 4\ln 4 = 8\ln 2$ .
(1 pt) $8\ln 2 \approx 5{,}545$ h. Comme $0{,}545 \times 60 \approx 33$ , cela fait environ $5$ h $33$ min.

Exercice 2

Partie A

1. (2 pts)

(1 pt) Équation caractéristique $r^2 + 2r + 2 = 0$ : $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0$ , donc $\alpha = -1$ et $\beta = \dfrac{\sqrt4}{2} = 1$ .
(1 pt) Les solutions de $(E_0)$ sont les fonctions $x \longmapsto e^{-x}(\lambda\cos x + \mu\sin x)$ , $\lambda$ , $\mu$ réels.

2. (2 pts)

(1 pt) $g'' = -g$ , donc $g'' + 2g' + 2g = g + 2g' = (a\cos x + b\sin x) + 2(-a\sin x + b\cos x) = (a + 2b)\cos x + (b - 2a)\sin x$ .
(1 pt) Par identification avec $5\sin x$ : $a + 2b = 0$ et $b - 2a = 5$ . Donc $a = -2b$ , puis $5b = 5$ : $b = 1$ , $a = -2$ , et $g(x) = -2\cos x + \sin x$ .

3. (1,5 pt) Pour toute fonction $f$ deux fois dérivable, $(f - g)'' + 2(f - g)' + 2(f - g) = (f'' + 2f' + 2f) - (g'' + 2g' + 2g) = (f'' + 2f' + 2f) - 5\sin x.$ Donc $f'' + 2f' + 2f = 5\sin x$ si et seulement si $(f - g)'' + 2(f - g)' + 2(f - g) = 0$ .

4. (1 pt) $f - g = e^{-x}(\lambda\cos x + \mu\sin x)$ , donc les solutions de $(E)$ sont les fonctions $x \longmapsto e^{-x}(\lambda\cos x + \mu\sin x) - 2\cos x + \sin x.$

5. (2,5 pts)

(0,5 pt) $h(0) = \lambda - 2 = -1$ , donc $\lambda = 1$ .
(1 pt) $h'(x) = e^{-x}\big[(-\lambda + \mu)\cos x + (-\mu - \lambda)\sin x\big] + 2\sin x + \cos x$ .
(0,5 pt) $h'(0) = -\lambda + \mu + 1 = \mu = 0$ .
(0,5 pt) $h(x) = e^{-x}\cos x - 2\cos x + \sin x$ .

Partie B

1. (1 pt) $u(x) = e^{-x}\cos x$ . Comme $-1 \leq \cos x \leq 1$ et $e^{-x} > 0$ , on a $-e^{-x} \leq u(x) \leq e^{-x}$ .

2. (1,5 pt)

(1 pt) $e^{-x} \to 0$ en $+\infty$ : par le théorème des gendarmes, $\lim_{x\to+\infty} u(x) = 0$ .
(0,5 pt) Quand $x$ est grand, $h(x)$ est très proche de $g(x) = -2\cos x + \sin x$ : la solution $h$ finit par osciller comme $g$ .

3. (1,5 pt) $|h(x) - g(x)| = |u(x)| \leq e^{-x}$ . Il suffit que $e^{-x} \leq 0{,}01$ , c'est-à-dire $-x \leq \ln 0{,}01$ , soit $x \geq \ln 100 \approx 4{,}61$ . On peut prendre $x_0 = \ln 100$ (ou $x_0 = 5$ ).

Compétences évaluées

Question	Compétence (objectif de la fiche du chapitre)
Ex. 1, 1	O2 Résoudre $y' = ay$
Ex. 1, 2 et 3	O3 Premier ordre avec second membre constant, condition initiale
Ex. 1, 4 et 5	O8 Exploiter un modèle : sens de variation, limite, seuil
Ex. 2, A1	O6 Résoudre une équation homogène du second ordre avec $\Delta < 0$
Ex. 2, A2 à A4	O4 Solution particulière de forme indiquée, principe de résolution
Ex. 2, A5	O7 Conditions initiales au second ordre
Ex. 2, B	O8 Comportement à l'infini, régime permanent