Compléments pour les séries S1, S3 et S1A

7.1 Le théorème des accroissements finis

Théorème (admis). Soit $f$ continue sur $[a;b]$ et dérivable sur $]a;b[$. Il existe au moins un réel $c \in\, ]a;b[$ tel que $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}, \quad\text{c'est-à-dire}\quad f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).$

Interprétation graphique. Il existe un point de la courbe, entre $A(a;f(a))$ et $B(b;f(b))$, où la tangente est parallèle à la corde $(AB)$. Interprétation cinématique. Lors d'un trajet, il existe un instant où la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne.

Exemple 29. Pour $f(x) = x^3$ sur $[0;3]$ : $\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0} = 9$. On cherche $c$ tel que $3c^2 = 9$, soit $c = \sqrt3 \approx 1{,}73$, qui est bien dans $]0;3[$.

Lien avec l'inégalité des accroissements finis. Si $m \leq f' \leq M$ sur $]a;b[$, alors $m \leq f'(c) \leq M$, et l'égalité $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$ donne directement $m(b-a) \leq f(b)-f(a) \leq M(b-a)$. C'est la leçon 3, retrouvée en une ligne.

Exemple 30. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. Montrer que $3a^2(b-a) < b^3 - a^3 < 3b^2(b-a)$.

On applique le théorème à $x \mapsto x^3$, continue et dérivable sur $[a;b]$ : il existe $c \in\, ]a;b[$ tel que $b^3 - a^3 = 3c^2(b-a)$. Comme $0 < a < c < b$, on a $a^2 < c^2 < b^2$. En multipliant par $3(b-a) > 0$, on obtient l'encadrement demandé. Les inégalités sont strictes, ce que l'inégalité des accroissements finis seule ne donnerait pas.

7.2 Démonstration du théorème de la limite de la dérivée

Théorème du prolongement de la dérivée. Si $f$ est continue sur $[a;b]$, dérivable sur $]a;b[$, et si $\displaystyle\lim_{x\to a^+} f'(x) = \ell$ (réel), alors $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f'_d(a) = \ell$.

Démonstration. Soit $x \in\, ]a;b[$. Sur $[a;x]$, $f$ vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis : il existe $c_x \in\, ]a;x[$ tel que $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c_x).$ Quand $x \to a^+$, l'encadrement $a < c_x < x$ donne $c_x \to a^+$ (théorème des gendarmes). Par composition des limites, $f'(c_x) \to \ell$. Le taux d'accroissement tend donc vers $\ell$ : $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f'_d(a) = \ell$. Le même raisonnement marche quand $\ell$ est infini.

7.3 Dérivées n-ièmes de sinus et cosinus

Propriété. Pour tout entier $n \geq 0$ et tout réel $x$ : $\sin^{(n)}(x) = \sin\left(x + n\frac{\pi}{2}\right) \qquad \cos^{(n)}(x) = \cos\left(x + n\frac{\pi}{2}\right).$

Démonstration par récurrence (pour le sinus). Pour $n = 0$, c'est $\sin x = \sin x$. Supposons $\sin^{(n)}(x) = \sin\left(x + n\frac{\pi}{2}\right)$ pour un entier $n$. En dérivant : $\sin^{(n+1)}(x) = \cos\left(x + n\frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + n\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x + (n+1)\frac{\pi}{2}\right),$ car $\cos t = \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right)$ pour tout réel $t$. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout $n$.

Exemple 31. $2026 = 4 \times 506 + 2$, donc $\sin^{(2026)}(x) = \sin(x + 1013\pi) = -\sin x$. On peut aussi lire le cycle de quatre de l'exemple 10 : la dérivée d'ordre $2026$ est la même que la dérivée seconde.

Remarque. La dérivée n-ième de $x \mapsto e^x$, aussi au programme de S1, sera vue au chapitre 3.