Dérivée d'une fonction composée

1.1 Ce que tu sais déjà (Première)

Dérivées des fonctions usuelles

Règles de calcul. Pour $u$ et $v$ dérivables sur $I$ et $k$ réel : $(u+v)' = u'+v' \qquad (ku)' = ku' \qquad (uv)' = u'v+uv' \qquad \left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2} \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ (les deux dernières là où $v$ ne s'annule pas). Et la dérivée de $x \mapsto f(ax+b)$ est $x \mapsto a\,f'(ax+b)$.

Deux usages de la dérivée.

• La tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
• Sur un intervalle, si $f' \geq 0$, $f$ est croissante ; si $f' > 0$, $f$ est strictement croissante ; de même pour la décroissance (admis en Première).

1.2 Le théorème

Théorème. Soit $u$ une fonction dérivable sur $I$, et $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $J$ contenant $u(I)$. Alors la composée $g \circ u : x \mapsto g\big(u(x)\big)$ est dérivable sur $I$ et $(g\circ u)'(x) = g'\big(u(x)\big) \times u'(x).$

Bien lire la formule. On dérive la fonction « extérieure » $g$ en gardant l'intérieur $u(x)$, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Le cas $u(x) = ax+b$ redonne la règle de Première : $a\,g'(ax+b)$.

Pourquoi ? Pour $x$ proche de $a$, avec $u(x) \neq u(a)$, on écrit le taux d'accroissement en deux morceaux : $\frac{g(u(x)) - g(u(a))}{x-a} = \frac{g(u(x)) - g(u(a))}{u(x)-u(a)} \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a}.$ Quand $x \to a$, $u(x) \to u(a)$ car $u$ est continue. Le premier facteur tend vers $g'(u(a))$, le second vers $u'(a)$. Cette justification suppose $u(x) \neq u(a)$ près de $a$ ; le cas général s'admet.

1.3 Les formules à connaître

$u$ est une fonction dérivable sur $I$.

Exemple 1. $f(x) = (2x^2-3)^4$. On pose $u(x) = 2x^2-3$, donc $u'(x) = 4x$ : $f'(x) = 4 \times 4x \times (2x^2-3)^3 = 16x(2x^2-3)^3.$

Exemple 2. $g(x) = \sqrt{x^2+x+1}$. Le discriminant de $x^2+x+1$ vaut $-3 < 0$, donc $x^2+x+1 > 0$ pour tout réel $x$, et $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : $g'(x) = \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}.$

Exemple 3. $h(x) = \sin(x^2)$ donne $h'(x) = 2x\cos(x^2)$. Et $k(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$ donne $k'(x) = 3(-\sin x)\cos^2 x = -3\sin x\cos^2 x$.

Piège classique. $\sin(x^2)$ et $\sin^2 x = (\sin x)^2$ ne sont pas la même fonction. La première a pour dérivée $2x\cos(x^2)$, la seconde $2\sin x\cos x$.

1.4 Application : sens de variation

Exemple 4. Étudier les variations de $f(x) = x\sqrt{4-x^2}$ sur $[-2;2]$.

Sur $]{-2};2[$, $4-x^2 > 0$. Par la règle du produit et la formule de $\sqrt{u}$ : $f'(x) = \sqrt{4-x^2} + x \times \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \frac{(4-x^2) - x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}.$ Le dénominateur est positif, donc $f'(x)$ a le signe de $2 - x^2$ : positif sur $]-\sqrt2;\sqrt2[$, négatif ailleurs.

$f$ est décroissante sur $[-2;-\sqrt2]$, croissante sur $[-\sqrt2;\sqrt2]$, décroissante sur $[\sqrt2;2]$. Son minimum est $f(-\sqrt2) = -2$, son maximum $f(\sqrt2) = \sqrt2 \times \sqrt2 = 2$. On reverra cette fonction en $2$ à la leçon 3.