Dérivation et primitives

1. Question 1 sur 18La dérivée de $x \mapsto (2x+1)^3$ est

   A $3(2x+1)^2$ B $6(2x+1)^2$ C $6x(2x+1)^2$ D $2(2x+1)^3$

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   Réponse B. $3 \times 2 \times (2x+1)^2$ : on n'oublie pas de multiplier par la dérivée de l'intérieur, $2$ .

2. Question 2 sur 18La dérivée de $x \mapsto \sqrt{x^2+1}$ est

   A $\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$ B $\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$ C $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ D $2x\sqrt{x^2+1}$

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   Réponse C. $\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ avec $u' = 2x$ , puis on simplifie par $2$ .

3. Question 3 sur 18La dérivée de $x \mapsto \sin(x^2)$ est

   A $\cos(x^2)$ B $2x\cos(x^2)$ C $2\sin x\cos x$ D $\cos(2x)$

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   Réponse B. La réponse C est la dérivée de $\sin^2 x$ , une autre fonction.

4. Question 4 sur 18La dérivée de $x \mapsto \cos^2 x$ est

   A $-2\sin x\cos x$ B $2\cos x$ C $-\sin^2 x$ D $2\sin x\cos x$

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   Réponse A. $\cos^2 x = u^2$ avec $u = \cos x$ : $2u'u = 2(-\sin x)\cos x$ .

5. Question 5 sur 18$f$ est une bijection dérivable, avec $f(2) = 5$ et $f'(2) = 4$ . Alors $(f^{-1})'(5) =$

   A $\frac15$ B $\frac14$ C $4$ D $\frac12$

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   Réponse B. L'antécédent de $5$ est $2$ , et $(f^{-1})'(5) = \frac{1}{f'(2)}$ .

6. Question 6 sur 18Sur $]0;+\infty[$ , la dérivée de $x \mapsto x^{\frac13}$ est

   A $\frac13 x^{-\frac23}$ B $\frac13 x^{\frac23}$ C $3x^{\frac23}$ D $x^{-\frac23}$

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   Réponse A. $(x^r)' = rx^{r-1}$ avec $r - 1 = -\frac23$ .

7. Question 7 sur 18$f$ est une bijection dérivable et $f'(x_0) = 0$ . Au point d'abscisse $f(x_0)$ , la courbe de $f^{-1}$ a

   A une tangente horizontale B une tangente verticale C une tangente de pente $1$ D un point d'inflexion

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   Réponse B. La tangente horizontale de $\mathcal{C}_f$ devient verticale par symétrie par rapport à $y = x$ .

8. Question 8 sur 18Pour $f(x) = x^3 - 5x$ , $f''(x) =$

   A $3x^2 - 5$ B $6x - 5$ C $6x$ D $6$

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   Réponse C. $f'(x) = 3x^2-5$ , puis $f''(x) = 6x$ .

9. Question 9 sur 18$f$ est continue en $0$ , dérivable sur $]0;1[$ , et $\displaystyle\lim_{x\to0^+} f'(x) = +\infty$ . Alors

   A $f'(0) = +\infty$ B $f$ est dérivable à droite en $0$ C $f$ n'est pas dérivable à droite en $0$ et sa courbe a une demi-tangente verticale D on ne peut rien dire

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   Réponse C. Le taux d'accroissement tend lui aussi vers $+\infty$ . Un nombre dérivé est toujours un réel, donc A n'a pas de sens.

10. Question 10 sur 18Pour tout réel $x$ , $|f'(x)| \leq 2$ , et $f(0) = 1$ . Que peut-on affirmer ?

    A $f(3) = 7$ B $f(3) \leq 7$ C $f(3) \geq 7$ D $f(3) \leq 3$

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    Réponse B. $|f(3) - f(0)| \leq 2 \times 3 = 6$ , donc $-5 \leq f(3) \leq 7$ .

11. Question 11 sur 18Laquelle est une primitive de $f(x) = 3x^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$ ?

    A $6x$ B $x^3 + x + 5$ C $x^3 + 1$ D $3x^3 + x$

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    Réponse B. Sa dérivée est $3x^2 + 1$ . La constante $5$ ne change rien.

12. Question 12 sur 18La primitive de $x \mapsto 2x$ sur $\mathbb{R}$ qui s'annule en $1$ est

    A $x^2$ B $x^2 + 1$ C $x^2 - 1$ D $2$

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    Réponse C. Les primitives sont $x^2 + c$ , et $1 + c = 0$ donne $c = -1$ .

13. Question 13 sur 18Une primitive de $x \mapsto \cos(2x)$ est

    A $\sin(2x)$ B $2\sin(2x)$ C $\frac12\sin(2x)$ D $-\frac12\sin(2x)$

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    Réponse C. En dérivant $\frac12\sin(2x)$ , on obtient $\frac12 \times 2\cos(2x) = \cos(2x)$ .

14. Question 14 sur 18Une primitive de $x \mapsto x(x^2+1)^2$ est

    A $\dfrac{(x^2+1)^3}{3}$ B $\dfrac{(x^2+1)^3}{6}$ C $\dfrac{x^2(x^2+1)^3}{6}$ D $2x(x^2+1)$

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    Réponse B. $x(x^2+1)^2 = \frac12 \times 2x(x^2+1)^2 = \frac12 u'u^2$ , d'où $\frac12 \times \frac{u^3}{3}$ .

15. Question 15 sur 18Une primitive de $x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ est

    A $\sqrt{x^2+1}$ B $2\sqrt{x^2+1}$ C $\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ D $\dfrac{x^2}{2\sqrt{x^2+1}}$

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    Réponse A. C'est $\frac12\frac{u'}{\sqrt u}$ , de primitive $\frac12 \times 2\sqrt u$ .

16. Question 16 sur 18Pour $f(x) = x^2$ sur $[0;2]$ , le réel $c$ du théorème des accroissements finis vaut

    A $\frac12$ B $1$ C $\sqrt2$ D $2$

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    Réponse B. $\frac{f(2)-f(0)}{2} = 2 = f'(c) = 2c$ .

17. Question 17 sur 18La dérivée d'ordre $102$ de la fonction sinus est

    A $\sin x$ B $\cos x$ C $-\sin x$ D $-\cos x$

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    Réponse C. $102 = 4 \times 25 + 2$ : c'est la même que la dérivée seconde, $-\sin x$ .

18. Question 18 sur 18$f$ est continue sur $[0;1]$ , dérivable sur $]0;1[$ , et $\displaystyle\lim_{x\to0^+} f'(x) = 3$ . Alors

    A $f$ est dérivable à droite en $0$ et $f'_d(0) = 3$ B $f(0) = 3$ C $f$ n'est pas dérivable en $0$ D on ne peut rien dire

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    Réponse A. C'est le théorème du prolongement de la dérivée, conséquence du théorème des accroissements finis.

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.