Courbe de la réciproque d'une bijection

7.1 Bijection

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $J$ un intervalle. On dit que $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ si tout réel $y$ de $J$ a un unique antécédent $x$ dans $I$.

Lecture graphique. $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ si toute droite horizontale d'équation $y = k$, avec $k \in J$, coupe la partie de $\mathcal{C}_f$ située au-dessus de $I$ en exactement un point, et si les droites $y = k$ avec $k \notin J$ ne la coupent pas.

Exemple 28. La fonction carré n'est pas une bijection de $\mathbb{R}$ sur $[0\,;+\infty[$ : $4$ a deux antécédents, $-2$ et $2$. Mais sa restriction à $[0\,;+\infty[$ est une bijection de $[0\,;+\infty[$ sur $[0\,;+\infty[$ : chaque $y \geq 0$ a un unique antécédent positif, $\sqrt y$.

Résultat admis (vu en détail au chapitre 2 et dans le chapitre sur les applications). Si $f$ est strictement monotone sur l'intervalle $I$ et si sa courbe est tracée sans lever le crayon, alors $f$ est une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$.

7.2 Fonction réciproque

Définition. Si $f$ est une bijection de $I$ sur $J$, sa fonction réciproque, notée $f^{-1}$, est la fonction définie sur $J$ qui, à chaque $y$ de $J$, associe son unique antécédent $x$ dans $I$ : $y = f(x) \text{ et } x \in I \iff x = f^{-1}(y) \text{ et } y \in J.$

Exemple 29. La réciproque de la restriction de la fonction carré à $[0\,;+\infty[$ est la fonction racine carrée : pour $x \geq 0$ et $y \geq 0$, $y = x^2 \iff x = \sqrt y$.

7.3 Construire la courbe de la réciproque

Propriété. Dans un repère orthonormé, la courbe de $f^{-1}$ est la symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ (la première bissectrice).

Démonstration. Un point $M(a\,;b)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $b = f(a)$ avec $a \in I$, c'est-à-dire $a = f^{-1}(b)$ avec $b \in J$, c'est-à-dire si et seulement si $M'(b\,;a)$ est sur la courbe de $f^{-1}$. Or, dans un repère orthonormé, $M'(b\,;a)$ est le symétrique de $M(a\,;b)$ par rapport à $\Delta$ : le milieu $\left(\dfrac{a+b}{2}\,;\dfrac{a+b}{2}\right)$ de $[MM']$ est sur $\Delta$, et le vecteur $\overrightarrow{MM'}(b - a\,;a - b)$ est orthogonal au vecteur $(1\,;1)$, qui dirige $\Delta$.

Méthode.

1. On trace la droite $\Delta$ d'équation $y = x$ (le repère doit être orthonormé).
2. On place quelques points $M(a\,;b)$ de $\mathcal{C}_f$ et leurs symétriques $M'(b\,;a)$.
3. Les points de $\mathcal{C}_f$ situés sur $\Delta$ sont aussi sur la courbe de $f^{-1}$.
4. On trace la courbe de $f^{-1}$ en reliant les points, symétrique de $\mathcal{C}_f$.

Exemple 30. Soit $f(x) = x^2 - 2x$ sur $I = [1\,;+\infty[$. Comme $f(x) = (x-1)^2 - 1$, $f$ est strictement croissante sur $I$ (lu sur la parabole de sommet $(1\,;-1)$), et $f(I) = [-1\,;+\infty[$. Donc $f$ est une bijection de $[1\,;+\infty[$ sur $[-1\,;+\infty[$.

Point de $\mathcal{C}_f$	$(1\,;-1)$	$(2\,;0)$	$(3\,;3)$	$(4\,;8)$
Point de la courbe de $f^{-1}$	$(-1\,;1)$	$(0\,;2)$	$(3\,;3)$	$(8\,;4)$

Le point $(3\,;3)$ est sur $\Delta$ : il appartient aux deux courbes.

Remarque (non exigible en Première). Ici, on peut trouver la formule : pour $y \geq -1$, l'équation $(x-1)^2 - 1 = y$ avec $x \geq 1$ donne $x = 1 + \sqrt{y + 1}$. Donc $f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x + 1}$ pour $x \geq -1$.

Exemple 31. La fonction inverse est une bijection de $]0\,;+\infty[$ sur $]0\,;+\infty[$, et elle est sa propre réciproque : $y = \dfrac1x \iff x = \dfrac1y$. Sa courbe est symétrique par rapport à la droite $y = x$.