QCM · Chapitre 1

Généralités sur les fonctions

17 questions, une seule bonne réponse à chaque fois. Le chapitre est validé à 70 %, soit 12 bonnes réponses sur 17. Tentatives illimitées.

Programme de S2 Questions des séries S2 et S4.

17 questionsSeuil : 70 %

Question 1 sur 17Soit $f(x) = x^2$ . Alors $f\big([-3\,;1]\big) =$
$[1\,;9]$ $[0\,;9]$ $[-3\,;1]$ $[0\,;1]$

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Réponse B. Sur $[-3\,;1]$ , $f$ décroît de $9$ à $0$ , puis croît jusqu'à $1$ . La plus petite valeur est $0 = f(0)$ , la plus grande $9 = f(-3)$ . La réponse A oublie la valeur $0$ , atteinte entre les bornes.
Question 2 sur 17Soit $f(x) = x^2$ . Alors $f^{-1}\big([4\,;9]\big) =$
$[2\,;3]$ $[16\,;81]$ $[-3\,;3]$ $[-3\,;-2] \cup [2\,;3]$

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Réponse D. $4 \leq x^2 \leq 9 \iff 2 \leq |x| \leq 3$ . La réponse A oublie les nombres négatifs ; la réponse B calcule des images au lieu d'antécédents.
Question 3 sur 17 $f$ est décroissante sur $[1\,;5]$ , sa courbe y est tracée sans lever le crayon, $f(1) = 4$ et $f(5) = -2$ . Alors $f\big([1\,;5]\big) =$
$[-2\,;4]$ $[1\,;5]$ $[4\,;5]$ $]-2\,;4[$

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Réponse A. Pour une fonction décroissante, $f\big([a\,;b]\big) = [f(b)\,;f(a)]$ . Les bornes $-2$ et $4$ sont atteintes : l'intervalle est fermé.
Question 4 sur 17Laquelle de ces fonctions est impaire ?
$x \mapsto x^2 + 1$ $x \mapsto x^3 + 1$ $x \mapsto x^3 + x$ $x \mapsto |x|$

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Réponse C. $(-x)^3 + (-x) = -(x^3 + x)$ . Les fonctions A et D sont paires ; la fonction B n'est ni paire ni impaire (elle vaut $2$ en $1$ et $0$ en $-1$ ).
Question 5 sur 17 $f$ est une fonction impaire définie sur $\mathbb{R}$ , et $f(2) = 5$ . Alors
$f(-2) = 5$ $f(-2) = -5$ et $f(0) = 0$ $f(0) = 5$ $f(-2) = \dfrac15$

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Réponse B. $f(-2) = -f(2) = -5$ ; et $f(0) = -f(0)$ donne $f(0) = 0$ .
Question 6 sur 17La plus petite période strictement positive de la fonction $x \mapsto \cos(4x)$ est
$4\pi$ $\dfrac\pi4$ $\dfrac\pi2$ $2\pi$

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Réponse C. $4T = 2\pi$ donne $T = \dfrac\pi2$ : $\cos\left(4\left(x + \frac\pi2\right)\right) = \cos(4x + 2\pi) = \cos(4x)$ . Le nombre $2\pi$ est aussi une période, mais ce n'est pas la plus petite.
Question 7 sur 17Dans un repère orthogonal, la droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si, pour tout $x$ de $D_f$ , $2a - x \in D_f$ et
$f(2a - x) = f(x)$ $f(a - x) = f(x)$ $f(2a - x) = -f(x)$ $f(2a - x) + f(x) = 2a$

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Réponse A. Les points $(x\,;f(x))$ et $(2a - x\,;f(x))$ sont symétriques par rapport à la droite $x = a$ . La relation D ressemble à celle d'un centre de symétrie.
Question 8 sur 17Le centre de symétrie de la courbe de $f(x) = \dfrac{3x + 1}{x - 2}$ est le point
$(-2\,;3)$ $(3\,;2)$ $(2\,;3)$ $\left(2\,;-\dfrac12\right)$

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Réponse C. $f(x) = \dfrac{3(x - 2) + 7}{x - 2} = 3 + \dfrac{7}{x - 2}$ : la courbe est l'image d'une hyperbole $y = \dfrac7x$ par la translation de vecteur $\vec u(2\,;3)$ , et son centre est $(2\,;3)$ .
Question 9 sur 17La courbe de $g$ est l'image de celle de $f$ par la translation de vecteur $2\vec i - \vec j$ . Alors, pour tout $x$ ,
$g(x) = f(x + 2) - 1$ $g(x) = f(x - 2) - 1$ $g(x) = f(x - 1) + 2$ $g(x) = f(x) + 1$

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Réponse B. La translation de vecteur $\vec u(a\,;b)$ donne $x \mapsto f(x - a) + b$ , ici avec $a = 2$ et $b = -1$ . La réponse A se trompe de signe : elle décale vers la gauche.
Question 10 sur 17La parabole d'équation $y = x^2 - 4x + 5$ est l'image de la parabole $y = x^2$ par la translation de vecteur
$\vec u(-2\,;1)$ $\vec u(2\,;5)$ $\vec u(4\,;5)$ $\vec u(2\,;1)$

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Réponse D. $x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1$ : le sommet est $(2\,;1)$ .
Question 11 sur 17Les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{x + 3}{x + 1}$ sont les droites
$x = 1$ et $y = 3$ $x = -1$ et $y = 1$ $x = -3$ et $y = 1$ $x = -1$ et $y = 3$

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Réponse B. $f(x) = \dfrac{(x + 1) + 2}{x + 1} = 1 + \dfrac{2}{x + 1}$ : translation de vecteur $\vec u(-1\,;1)$ de l'hyperbole $y = \dfrac2x$ , dont les asymptotes sont les axes.
Question 12 sur 17Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ . La fonction $h : x \mapsto f(|x|)$ est toujours
paire impaire positive périodique

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Réponse A. $h(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = h(x)$ . Elle n'est pas forcément positive : c'est $|f(x)|$ qui est toujours positive.
Question 13 sur 17Le nombre de solutions de l'équation $|x^2 - 4| = 2$ est
$2$ $3$ $0$ $4$

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Réponse D. $x^2 - 4 = 2$ donne $x = \pm\sqrt6$ , et $x^2 - 4 = -2$ donne $x = \pm\sqrt2$ . Graphiquement, la droite $y = 2$ coupe la courbe de $|x^2 - 4|$ en quatre points, car $0 < 2 < 4$ .
Question 14 sur 17Soit $u(x) = x + 1$ et $v(x) = x^2$ . Alors $(v \circ u)(x) =$
$x^2 + 1$ $x^2(x + 1)$ $(x + 1)^2$ $x^2 + x$

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Réponse C. On applique d'abord $u$ , puis $v$ : $v\big(u(x)\big) = (x + 1)^2$ . La réponse A est $(u \circ v)(x)$ .
Question 15 sur 17L'ensemble de définition de $x \mapsto \sqrt{9 - x^2}$ est
$[-3\,;3]$ $[3\,;+\infty[$ $]-\infty\,;3]$ $]-\infty\,;-3] \cup [3\,;+\infty[$

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Réponse A. Il faut $9 - x^2 \geq 0$ , soit $x^2 \leq 9$ , soit $-3 \leq x \leq 3$ .
Question 16 sur 17Dans un repère orthonormé, la courbe de la réciproque d'une bijection $f$ est la symétrique de $\mathcal{C}_f$ par rapport
à la droite d'équation $y = x$ à l'axe des abscisses à l'axe des ordonnées à l'origine

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Réponse A. Le point $(a\,;b)$ est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $(b\,;a)$ est sur la courbe de $f^{-1}$ , et ces deux points sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .
Question 17 sur 17 $f$ est une bijection de $[1\,;+\infty[$ sur $[-1\,;+\infty[$ , et $f(2) = 0$ . La courbe de $f^{-1}$ passe par le point
$(2\,;0)$ $(0\,;-2)$ $(-2\,;0)$ $(0\,;2)$

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Réponse D. $f(2) = 0$ donne $f^{-1}(0) = 2$ : le point $(0\,;2)$ , symétrique de $(2\,;0)$ , est sur la courbe de $f^{-1}$ . Le point $(2\,;0)$ est sur $\mathcal{C}_f$ .