Parité, périodicité, ensemble d'étude

2.1 Fonctions paires, fonctions impaires

On dit que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$ si, pour tout $x$ de $D_f$, le réel $-x$ est aussi dans $D_f$. Par exemple $\mathbb{R}$, $[-3\,;3]$ et $\mathbb{R} \setminus \{-1\,;1\}$ le sont, mais pas $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Définitions. Soit $f$ une fonction dont l'ensemble de définition $D_f$ est symétrique par rapport à $0$.

• $f$ est paire si, pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = f(x)$.
• $f$ est impaire si, pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = -f(x)$.

Propriété (interprétation graphique).

• Dans un repère orthogonal, $f$ est paire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Dans un repère quelconque, $f$ est impaire si et seulement si $\mathcal{C}_f$ est symétrique par rapport à l'origine $O$.

Démonstration. Soit $M(x\,;f(x))$ un point de $\mathcal{C}_f$. Le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des ordonnées (repère orthogonal) est $M'(-x\,;f(x))$. Il est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $-x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. Le symétrique de $M$ par rapport à $O$ est $M''(-x\,;-f(x))$ : il est sur $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(-x) = -f(x)$.

Méthode.

1. On vérifie que $D_f$ est symétrique par rapport à $0$. Sinon, $f$ n'est ni paire ni impaire.
2. On calcule $f(-x)$ et on le compare à $f(x)$ et à $-f(x)$.
3. Pour montrer qu'une fonction n'est pas paire (ou pas impaire), un seul contre-exemple suffit.

Exemple 6.

• $f(x) = x^4 - 2x^2$ : $D_f = \mathbb{R}$ et $f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = f(x)$. La fonction $f$ est paire.
• $g(x) = x^3 - 3x$ : $g(-x) = -x^3 + 3x = -g(x)$. La fonction $g$ est impaire.
• $h(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ : $D_h = \mathbb{R}$ et $h(-x) = \dfrac{-x}{x^2+1} = -h(x)$. La fonction $h$ est impaire.
• $k(x) = x^2 + x$ : $k(1) = 2$ et $k(-1) = 0$. Comme $k(-1) \neq k(1)$, $k$ n'est pas paire ; comme $k(-1) \neq -k(1)$, elle n'est pas impaire.
• $\ell(x) = \sqrt{x+1}$ : $D_\ell = [-1\,;+\infty[$ n'est pas symétrique par rapport à $0$ ($2 \in D_\ell$ mais $-2 \notin D_\ell$). La fonction $\ell$ n'est ni paire ni impaire.

Fonctions de référence. Les fonctions $x \mapsto x^2$, $x \mapsto |x|$ et cosinus sont paires. Les fonctions $x \mapsto x^3$, $x \mapsto \dfrac1x$ et sinus sont impaires. La fonction racine carrée n'est ni paire ni impaire.

Remarque. Si $f$ est impaire et si $0 \in D_f$, alors $f(0) = -f(0)$, donc $f(0) = 0$ : la courbe passe par l'origine.

2.2 Fonctions périodiques

Définition. Soit $T$ un réel strictement positif. La fonction $f$ est périodique de période $T$ si, pour tout $x \in D_f$, les réels $x + T$ et $x - T$ sont dans $D_f$ et $f(x + T) = f(x).$

Interprétation graphique. La courbe d'une fonction de période $T$ est inchangée par la translation de vecteur $T\vec i$ : le motif tracé sur un intervalle de longueur $T$ se répète.

Remarque. Si $T$ est une période, $2T$, $3T$, … en sont aussi. Quand on parle de « la période », il s'agit en général de la plus petite période strictement positive.

Exemple 7.

• Cosinus et sinus sont de période $2\pi$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ (Seconde, cercle trigonométrique).
• Soit $f(x) = x - E(x)$, où $E(x)$ est la partie entière de $x$. Comme $E(x + 1) = E(x) + 1$, on a $f(x + 1) = x + 1 - E(x) - 1 = f(x)$ : $f$ est de période $1$. Sur $[0\,;1[$, $E(x) = 0$, donc $f(x) = x$.
• Soit $g(x) = \cos(3x)$. Pour tout réel $x$, $g\left(x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos(3x + 2\pi) = \cos(3x) = g(x)$ : $g$ est de période $\dfrac{2\pi}{3}$.

Méthode. Pour $x \mapsto \cos(ax)$ ou $x \mapsto \sin(ax)$, avec $a > 0$, on cherche $T$ tel que $aT = 2\pi$ : on trouve $T = \dfrac{2\pi}{a}$.

2.3 Ensemble d'étude

La parité et la périodicité permettent de réduire l'intervalle d'étude :

• si $f$ est paire ou impaire, on l'étudie sur $D_f \cap [0\,;+\infty[$, puis on complète la courbe par la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) ou par rapport à $O$ (fonction impaire) ;
• si $f$ est de période $T$, on l'étudie sur un intervalle de longueur $T$, puis on complète la courbe par les translations de vecteurs $T\vec i$, $-T\vec i$, $2T\vec i$, … ;
• si $f$ est paire (ou impaire) et de période $T$, il suffit de l'étudier sur $\left[0\,;\dfrac{T}{2}\right]$ : la symétrie donne la courbe sur $\left[-\dfrac{T}{2}\,;\dfrac{T}{2}\right]$, intervalle de longueur $T$, puis les translations donnent le reste.

Exemple 8. La fonction $f(x) = x^4 - 2x^2$ est paire : on trace sa courbe pour $x \geq 0$ (elle descend de $(0\,;0)$ à $(1\,;-1)$, puis remonte), et on obtient le reste par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées. La courbe a la forme d'un « W ».

Exemple 9. La fonction $f(x) = x - E(x)$ est de période $1$. Sur $[0\,;1[$, sa courbe est le segment de la droite $y = x$, du point $(0\,;0)$ inclus au point $(1\,;1)$ exclu. Les translations de vecteurs $\vec i$, $2\vec i$, $-\vec i$… donnent une courbe « en dents de scie ».

Exemple 10. Cosinus est paire et de période $2\pi$ : on l'étudie sur $[0\,;\pi]$, on complète sur $[-\pi\,;\pi]$ par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, puis sur $\mathbb{R}$ par translations.