Résolutions graphiques et discussion

Le programme S2-S4 demande d'utiliser la courbe pour résoudre des équations $f(x) = g(x)$, des inéquations $f(x) > g(x)$, et de discuter une équation $f(x) = m$ selon le paramètre $m$.

7.1 Équation $f(x) = g(x)$, inéquation $f(x) > g(x)$

• Les solutions de $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
• Les solutions de $f(x) > g(x)$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ situés strictement au-dessus de $\mathcal{C}_g$.

La lecture graphique donne souvent des valeurs approchées ; quand c'est possible, on confirme par le calcul.

Exemple 14. Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ (leçon 1) et $g(x) = 2 - 2x$, dont la courbe est une droite $\Delta$.

• Lecture. $\Delta$ coupe $\mathcal{C}_f$ en trois points : $(0\,;2)$, $(1\,;0)$ et $(2\,;-2)$. $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\Delta$ entre $0$ et $1$, et après $2$.
• Calcul. $f(x) - g(x) = x^3 - 3x^2 + 2x = x(x - 1)(x - 2)$. Un tableau de signes donne : $f(x) = g(x)$ pour $x \in \{0\,;1\,;2\}$, et $f(x) > g(x)$ pour $x \in \left]0\,;1\right[ \cup \left]2\,;+\infty\right[$.

7.2 Discuter une équation $f(x) = m$

Le nombre de solutions de $f(x) = m$ est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale $D_m$ d'équation $y = m$. On fait glisser $D_m$ de bas en haut, et l'on compte les points d'intersection ; les valeurs de $m$ où ce nombre change sont les extremums et les limites lus dans le tableau de variations.

Exemple 15. Avec $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, dont le tableau de variations est : $-\infty \nearrow 2 \searrow -2 \nearrow +\infty$ (leçon 1).

Valeur de $m$	$m < -2$	$m = -2$	$-2 < m < 2$	$m = 2$	$m > 2$
Nombre de solutions de $f(x) = m$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

Par exemple, pour $m = 2$ : $f(x) = 2$ équivaut à $x^3 - 3x^2 = 0$, soit $x^2(x - 3) = 0$, d'où les deux solutions $0$ et $3$. Pour $m = -2$ : $x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x - 2)^2 = 0$, d'où $-1$ et $2$.

Exemple 16. Avec $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 5}{x - 1}$ (leçon 4), de tableau $-\infty \nearrow -4 \searrow -\infty$ ‖ $+\infty \searrow 4 \nearrow +\infty$ : l'équation $f(x) = m$ a deux solutions si $m < -4$ ou $m > 4$, une seule si $m = -4$ ou $m = 4$, et aucune si $-4 < m < 4$.