Étude de fonctions

1. Question 1 sur 17Soit $f(x) = x^3 - 3x$ . La fonction $f$ admet un maximum local égal à

   A $2$ , atteint en $-1$ B $-2$ , atteint en $1$ C $2$ , atteint en $1$ D $0$ , atteint en $0$

   Voir la réponse

   Réponse A. $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ passe de $+$ à $-$ en $-1$ , et $f(-1) = -1 + 3 = 2$ . En $1$ , $f$ a un minimum local, $f(1) = -2$ .

2. Question 2 sur 17La courbe de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ a pour centre de symétrie le point

   A $(0\,;2)$ B $(2\,;-2)$ C $(1\,;0)$ D $(-1\,;-2)$

   Voir la réponse

   Réponse C. Pour tout réel $x$ , $f(2 - x) + f(x) = 0 = 2 \times 0$ . Les points A et B sont le maximum et le minimum locaux, pas le centre.

3. Question 3 sur 17Soit $g(x) = x^3 + 3x$ . Laquelle de ces affirmations est vraie ?

   A $g$ admet un minimum en $0$ B $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ C $g'$ s'annule en $0$ D $g$ est paire

   Voir la réponse

   Réponse B. $g'(x) = 3x^2 + 3 > 0$ pour tout réel $x$ : $g$ est strictement croissante, sans extremum. Elle est impaire, pas paire.

4. Question 4 sur 17La courbe de $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ a pour asymptotes les droites d'équations

   A $x = 3$ et $y = 2$ B $x = -3$ et $y = 2$ C $x = 3$ et $y = -\dfrac13$ D $x = 2$ et $y = 3$

   Voir la réponse

   Réponse A. Le dénominateur s'annule en $3$ (le numérateur y vaut $7 \neq 0$ ) ; en $\pm\infty$ , $f(x)$ tend vers $\dfrac{2x}{x} = 2$ .

5. Question 5 sur 17Soit $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 1}$ . Alors

   A $f$ est croissante sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ B $f$ est décroissante sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ C $f$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;1\right[$ et sur $\left]1\,;+\infty\right[$ D $f$ est croissante sur $\left]-\infty\,;1\right[$ et décroissante sur $\left]1\,;+\infty\right[$

   Voir la réponse

   Réponse C. $ad - bc = -1 - 2 = -3 < 0$ , donc $f'(x) = \dfrac{-3}{(x - 1)^2} < 0$ sur chaque intervalle. B est fausse : $0 < 2$ mais $f(0) = -2 < f(2) = 4$ ; la monotonie ne vaut pas sur la réunion.

6. Question 6 sur 17La courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ a pour centre de symétrie le point

   A $(2\,;3)$ B $\left(-2\,;-\dfrac12\right)$ C $(3\,;-2)$ D $(-2\,;3)$

   Voir la réponse

   Réponse D. C'est l'intersection des asymptotes $x = -2$ et $y = 3$ .

7. Question 7 sur 17Soit $f(x) = 2x - 1 + \dfrac{3}{x + 1}$ . Sa courbe a pour asymptote oblique la droite d'équation

   A $y = 2x - 1$ B $y = 2x + 2$ C $y = 3$ D $x = -1$

   Voir la réponse

   Réponse A. $\dfrac{3}{x + 1}$ tend vers $0$ en $\pm\infty$ . La droite $x = -1$ est asymptote, mais verticale.

8. Question 8 sur 17Soit $f(x) = x + 2 - \dfrac{1}{x - 3}$ . Sur $\left]3\,;+\infty\right[$ , la courbe de $f$ est, par rapport à la droite $y = x + 2$ ,

   A au-dessus B en dessous C sécante en un point D confondue

   Voir la réponse

   Réponse B. $f(x) - (x + 2) = -\dfrac{1}{x - 3} < 0$ pour $x > 3$ .

9. Question 9 sur 17La courbe de $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x^2 + 2}$ admet pour asymptote la droite d'équation

   A $y = 0$ B $y = 1$ C $y = \dfrac12$ D aucune asymptote

   Voir la réponse

   Réponse B. Le numérateur et le dénominateur ont le même degré : la limite en $\pm\infty$ est le quotient des coefficients dominants, $\dfrac11 = 1$ .

10. Question 10 sur 17Soit $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ . Sur chaque intervalle de son ensemble de définition, $f'(x)$ a le signe de

    A $x^2 + 3$ B $x - 1$ C $(x - 3)(x + 1)$ D $2x$

    Voir la réponse

    Réponse C. $f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$ , et le dénominateur est positif.

11. Question 11 sur 17Sur $\left]0\,;+\infty\right[$ , la fonction $f(x) = x + \dfrac1x$ admet pour minimum

    A $1$ B $0$ C $2$ D elle n'a pas de minimum

    Voir la réponse

    Réponse C. $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}$ s'annule en $1$ en passant de $-$ à $+$ , et $f(1) = 2$ .

12. Question 12 sur 17L'ensemble de définition de $f(x) = \sqrt{4 - x}$ est

    A $[4\,;+\infty[$ B $\left]-\infty\,;4\right]$ C $\left]-\infty\,;4\right[$ D $\mathbb{R}$

    Voir la réponse

    Réponse B. Il faut $4 - x \geq 0$ , soit $x \leq 4$ ; en $4$ , $f(4) = 0$ existe.

13. Question 13 sur 17Soit $f(x) = x\sqrt x$ sur $[0\,;+\infty[$ . En $0$ ,

    A la courbe a une demi-tangente verticale B $f$ n'est pas définie C $f$ est dérivable et $f'(0) = 1$ D $f$ est dérivable et $f'(0) = 0$

    Voir la réponse

    Réponse D. Pour $x > 0$ , le taux $\dfrac{f(x) - f(0)}{x} = \sqrt x$ tend vers $0$ : $f$ est dérivable en $0$ , avec une tangente horizontale.

14. Question 14 sur 17La fonction $x \mapsto \cos(3x + 1)$ est périodique de période

    A $2\pi$ B $3\pi$ C $\dfrac\pi3$ D $\dfrac{2\pi}{3}$

    Voir la réponse

    Réponse D. La période de $x \mapsto \cos(ax + b)$ est $\dfrac{2\pi}{\lvert a\rvert}$ : ici $\dfrac{2\pi}{3}$ .

15. Question 15 sur 17Quand $x$ tend vers $\dfrac\pi2$ par la gauche, $\tan x$ tend vers

    A $+\infty$ B $-\infty$ C $1$ D $0$

    Voir la réponse

    Réponse A. $\sin x$ tend vers $1$ et $\cos x$ tend vers $0$ en restant positif. B est la limite à droite.

16. Question 16 sur 17Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ , de tableau de variations $-\infty \nearrow 2 \searrow -2 \nearrow +\infty$ . L'équation $f(x) = 1$ a

    A aucune solution B une solution C deux solutions D trois solutions

    Voir la réponse

    Réponse D. $1$ est strictement compris entre le minimum local $-2$ et le maximum local $2$ : la droite $y = 1$ coupe la courbe trois fois.

17. Question 17 sur 17Les solutions de l'inéquation $f(x) > g(x)$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$

    A situés strictement au-dessus de $\mathcal{C}_g$ B situés strictement en dessous de $\mathcal{C}_g$ C communs à $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ D situés sur l'axe des abscisses

    Voir la réponse

    Réponse A. $f(x) > g(x)$ signifie que le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x$ est au-dessus de celui de $\mathcal{C}_g$ . C donne l'équation $f(x) = g(x)$ .

Questions et réponses dans un ordre différent à chaque tentative.