Interprétations cinématique et économique

8.1 Vitesse moyenne, vitesse instantanée

Un objet se déplace sur une droite. À l'instant $t$ (en secondes), sa position est $d(t)$ (en mètres).

• Entre les instants $t_0$ et $t_0 + h$, il se déplace de $d(t_0 + h) - d(t_0)$. Sa vitesse moyenne est $\frac{d(t_0 + h) - d(t_0)}{h} \quad \text{(en m/s)} :$ c'est le taux d'accroissement de la fonction $d$.
• Quand $h$ tend vers $0$, la vitesse moyenne tend vers la vitesse instantanée à l'instant $t_0$ : c'est le nombre dérivé $v(t_0) = d'(t_0).$ C'est la vitesse qu'indique le compteur d'une voiture à cet instant. Une vitesse positive signifie que la position augmente ; négative, qu'elle diminue.

Exemple 35 (modèle simplifié). Un ballon est lancé verticalement vers le haut. Sa hauteur (en m) au bout de $t$ secondes est $d(t) = -5t^2 + 20t$, pour $0 \leq t \leq 4$.

• Sa vitesse est $v(t) = d'(t) = -10t + 20$ : $20$ m/s au départ, $10$ m/s au bout d'une seconde.
• $v(2) = 0$ : le ballon est au sommet de sa trajectoire, à $d(2) = 20$ m de hauteur. La tangente à la courbe de $d$ y est horizontale.
• $v(3) = -10$ m/s : la vitesse est négative, le ballon redescend.
• Sa vitesse moyenne pendant la première seconde est $\dfrac{d(1) - d(0)}{1} = 15$ m/s.

8.2 Coût marginal

Une entreprise fabrique $q$ objets. Le coût total de fabrication est $C(q)$.

• Le coût de fabrication d'un objet supplémentaire est $C(q + 1) - C(q)$.
• Par l'approximation affine avec $h = 1$, $C(q + 1) - C(q) \approx C'(q)$.

En économie, on appelle coût marginal la dérivée $C'(q)$ : c'est, à peu près, le coût du $(q + 1)$-ième objet.

Exemple 36 (modèle simplifié). Le coût total, en milliers de francs CFA, est $C(q) = q^2 + 10q + 400$. Le coût marginal est $C'(q) = 2q + 10$. Pour $q = 50$ : $C'(50) = 110$, soit $110\,000$ F. Vérification : $C(51) - C(50) = 3\,511 - 3\,400 = 111$. Le cinquante et unième objet coûte bien environ $110\,000$ F.