Fonction dérivée, dérivées des fonctions usuelles

4.1 Fonction dérivable sur un intervalle

Définition. Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$. La fonction qui, à tout $x$ de $I$, associe le nombre dérivé $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ ; on la note $f'$.

Sur un intervalle fermé $[a\,;b]$, on demande en plus que $f$ soit dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Exemple 17 (la fonction carré). Soit $f(x) = x^2$ et $x$ un réel quelconque. Pour $h \neq 0$, $\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h,$ qui tend vers $2x$. La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x) = 2x$. Par exemple, $f'(-1) = -2$, $f'(0) = 0$, $f'(1) = 2$ et $f'(3) = 6$.

4.2 Dérivées des fonctions usuelles

Les angles sont en radians. La racine carrée est définie en $0$, mais n'y est pas dérivable (exemple 16).

4.3 D'où viennent ces formules

• Constante. Le taux vaut $\dfrac{a - a}{h} = 0$. Fonction $x \mapsto kx$. Le taux vaut $\dfrac{k(x + h) - kx}{h} = k$.
• Fonction cube. $\dfrac{(x + h)^3 - x^3}{h} = \dfrac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2$, qui tend vers $3x^2$. C'est bien $n\,x^{n-1}$ pour $n = 3$. Pour un entier $n$ quelconque, la formule est admise.
• Fonction inverse. Pour $x \neq 0$ et $h$ assez petit, $\dfrac{1}{x + h} - \dfrac1x = \dfrac{-h}{x(x + h)}$. Le taux vaut $\dfrac{-1}{x(x + h)}$, qui tend vers $-\dfrac{1}{x^2}$.
• Racine carrée. Pour $x > 0$, on multiplie par l'expression conjuguée : $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt x}{h} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt x\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt x},$ qui tend vers $\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
• Sinus et cosinus. Les formules sont admises.

Exemple 18. La dérivée de $x \mapsto x^5$ est $x \mapsto 5x^4$ ; celle de $x \mapsto -3x$ est la constante $-3$ ; celle de $x \mapsto 7$ est la fonction nulle.

Exemple 19. Tangente à la courbe de la racine carrée au point d'abscisse $9$ : $\sqrt9 = 3$ et la dérivée en $9$ vaut $\dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$. La tangente a pour équation $y = \dfrac16(x - 9) + 3$, soit $y = \dfrac16 x + \dfrac32$.

Exemple 20. Le cosinus a pour dérivée $-\sin$, qui s'annule en $0$ : la tangente à la courbe du cosinus au point $(0\,;1)$ est horizontale. Le sinus a pour dérivée le cosinus, qui vaut $1$ en $0$ : la tangente à la courbe du sinus à l'origine est la droite $y = x$.