Tangente à une courbe, approximation affine

2.1 De la sécante à la tangente

Soit $f$ dérivable en $x_0$, $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$, et $M$ un point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $x_0 + h$. Quand $h$ tend vers $0$, le point $M$ se rapproche de $A$ sur la courbe, et la sécante $(AM)$ tourne autour de $A$ : son coefficient directeur, le taux d'accroissement, tend vers $f'(x_0)$. La sécante se rapproche ainsi d'une position limite : la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(x_0)$. C'est la tangente.

Définition. Si $f$ est dérivable en $x_0$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ est la droite qui passe par $A$ et qui a pour coefficient directeur $f'(x_0)$.

2.2 Équation de la tangente

Une droite de coefficient directeur $m$ qui passe par $A\big(x_0\,;f(x_0)\big)$ a pour équation $y - f(x_0) = m(x - x_0)$. D'où :

Propriété. Si $f$ est dérivable en $x_0$, la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x_0$ a pour équation $y = f'(x_0)\,(x - x_0) + f(x_0).$

Exemple 7. Pour $f(x) = x^2$ en $x_0 = 3$ : $f(3) = 9$ et $f'(3) = 6$ (exemple 2). La tangente a pour équation $y = 6(x - 3) + 9$, soit $y = 6x - 9$.

Exemple 8. Pour $g(x) = \dfrac1x$ en $x_0 = 2$ : $g(2) = \dfrac12$ et $g'(2) = -\dfrac14$ (exemple 3). La tangente a pour équation $y = -\dfrac14(x - 2) + \dfrac12$, soit $y = -\dfrac14 x + 1$.

Exemple 9. Pour $p(x) = x^3 - 2x$ en $x_0 = 1$ : $p(1) = -1$ et $p'(1) = 1$ (exemple 5). La tangente a pour équation $y = (x - 1) - 1$, soit $y = x - 2$.

Tangente horizontale. Si $f'(x_0) = 0$, la tangente en $A$ est la droite horizontale d'équation $y = f(x_0)$.

Exemple 10. Soit $q(x) = x^2 - 4x + 1$ et $x_0 = 2$. On a $q(2) = -3$ et, pour $h \neq 0$, $\frac{q(2 + h) - q(2)}{h} = \frac{(4 + 4h + h^2) - (8 + 4h) + 1 + 3}{h} = \frac{h^2}{h} = h,$ qui tend vers $0$. Donc $q'(2) = 0$ : la tangente au sommet $S(2\,;-3)$ de la parabole est la droite horizontale $y = -3$.

Tracer une tangente. On part de $A$, on avance d'une unité vers la droite, puis on monte de $f'(x_0)$ (on descend si $f'(x_0) < 0$) : on obtient un second point de la tangente.

2.3 Approximation affine

Près du point $A$, la courbe et sa tangente sont presque confondues : on peut remplacer $f$ par la fonction affine dont la droite représentative est la tangente.

Propriété (approximation affine). Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors, pour $h$ proche de $0$, $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,h.$ Le nombre $f(x_0) + f'(x_0)\,h$ est l'ordonnée du point de la tangente d'abscisse $x_0 + h$.

Pour aller plus loin (non exigible). On peut écrire $f(x_0 + h) = f(x_0) + f'(x_0)\,h + h\,\varphi(h)$, où $\varphi(h) = \dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0)$ tend vers $0$ quand $h$ tend vers $0$ : l'erreur commise est petite devant $h$. Par exemple, $(3 + h)^2 = 9 + 6h + h \times h$, avec ici $\varphi(h) = h$.

Exemple 11. La racine carrée en $4$ : $k(4) = 2$ et $k'(4) = \dfrac14$ (exemple 4). Donc, pour $h$ proche de $0$, $\sqrt{4 + h} \approx 2 + \dfrac h4$.

• Avec $h = 0{,}02$ : $\sqrt{4{,}02} \approx 2{,}005$. La calculatrice donne $2{,}004\,993\ldots$ : l'erreur est inférieure à $10^{-5}$.
• Avec $h = -0{,}04$ : $\sqrt{3{,}96} \approx 2 - 0{,}01 = 1{,}99$. La calculatrice donne $1{,}989\,974\ldots$

Trois approximations utiles en $1$. En calculant les nombres dérivés en $1$ des fonctions $x \mapsto x^2$, $x \mapsto \dfrac1x$ et $x \mapsto \sqrt x$ (ils valent $2$, $-1$ et $\dfrac12$), on obtient, pour $h$ proche de $0$ : $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h, \qquad \frac{1}{1 + h} \approx 1 - h, \qquad \sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac h2.$

Exemple 12. $\dfrac{1}{1{,}02} \approx 1 - 0{,}02 = 0{,}98$ (la calculatrice donne $0{,}980\,39\ldots$) ; $1{,}003^2 \approx 1{,}006$ (valeur exacte $1{,}006\,009$) ; $\sqrt{1{,}06} \approx 1{,}03$ (la calculatrice donne $1{,}029\,56\ldots$).