Fonction continue strictement monotone et bijection

8.1 Rappel : bijection (chapitre 1)

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $J$ un intervalle. $f$ est une bijection de $I$ sur $J$ si tout réel $y$ de $J$ a un unique antécédent $x$ dans $I$. Graphiquement, toute droite horizontale d'équation $y = k$, avec $k \in J$, coupe la courbe (au-dessus de $I$) en exactement un point.

8.2 Le théorème

Théorème (admis). Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$.

Pourquoi les deux hypothèses ?

• Sans la stricte monotonie, une valeur peut être atteinte deux fois : la fonction carré sur $[-1\,;2]$ prend la valeur $1$ en $-1$ et en $1$.
• Sans la continuité, la courbe peut sauter certaines valeurs, et $f(I)$ n'est pas forcément un intervalle.

8.3 Conséquence : l'équation $f(x) = k$

Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors, pour tout réel $k$ de $f(I)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement une solution dans $I$.

Avec la leçon 7.5 : si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a\,;b]$, c'est une bijection de $[a\,;b]$ sur $\big[f(a)\,;f(b)\big]$.

Exemple 32. Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$, puis l'encadrer.

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0\,;1]$.

• $f$ est un polynôme, donc elle est continue sur $[0\,;1]$.
• Si $0 \leq x_1 < x_2 \leq 1$, alors $x_1^3 < x_2^3$ (la fonction cube est strictement croissante) et $x_1 < x_2$, donc, en ajoutant, $x_1^3 + x_1 - 1 < x_2^3 + x_2 - 1$ : $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.
• Donc $f$ est une bijection de $[0\,;1]$ sur $\big[f(0)\,;f(1)\big] = [-1\,;1]$.

Comme $0 \in [-1\,;1]$, l'équation $f(x) = 0$ a exactement une solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.

Encadrement. $f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0$ et $f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0$. Comme $f$ est strictement croissante et $f(\alpha) = 0$, on a $f(0{,}5) < f(\alpha) < f(0{,}75)$, donc $0{,}5 < \alpha < 0{,}75$.

Exemple 33. La fonction carré est continue et strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ : c'est une bijection de $[0\,;+\infty[$ sur $[0\,;+\infty[$. Chaque $y \geq 0$ a un unique antécédent positif, $\sqrt y$ (chapitre 1).