Continuité sur un intervalle

7.1 Définition

Définition. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$. Si $I$ contient une borne, par exemple $I = [a\,;b]$, on demande la continuité à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Interprétation graphique. Sur un intervalle où $f$ est continue, on trace la courbe d'un seul trait, sans lever le crayon.

Exemple 28. La fonction inverse est continue sur $]0\,;+\infty[$ et sur $]-\infty\,;0[$. Sa courbe est faite de deux morceaux, car $0$ n'est pas dans son ensemble de définition.

7.2 Les fonctions continues usuelles

Propriété (admise).

• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
• Les fonctions rationnelles, en particulier les fonctions homographiques, sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$.

7.3 Opérations sur les fonctions continues

Propriété (admise). Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$.

• $f + g$ et $f \times g$ sont continues sur $I$ ;
• si $g$ ne s'annule pas sur $I$, $\dfrac{f}{g}$ est continue sur $I$ ;
• si $f$ est positive sur $I$, $\sqrt{f}$ est continue sur $I$ (conséquence de la leçon 4.5).

Méthode : justifier qu'une fonction est continue. On reconnaît des fonctions usuelles, reliées par des opérations.

Exemple 29. $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ est une fonction rationnelle, définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ : elle est continue sur $]-\infty\,;3[$ et sur $]3\,;+\infty[$.

$g(x) = \sqrt{x^2 + 1} + x$ : la fonction $x \mapsto x^2 + 1$ est un polynôme, continu et positif sur $\mathbb{R}$, donc $x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; on ajoute la fonction $x \mapsto x$, continue. Donc $g$ est continue sur $\mathbb{R}$.

7.4 Image d'un intervalle par une fonction continue

On rappelle (chapitre 1) que l'image $f(I)$ d'un intervalle $I$ est l'ensemble des valeurs $f(x)$ quand $x$ parcourt $I$.

Théorème (admis). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Interprétation graphique. Quand $x$ parcourt $I$, le point de la courbe, tracée sans lever le crayon, a une ordonnée qui parcourt un intervalle « sans trou » de l'axe des ordonnées.

Contre-exemple. La partie entière n'est pas continue sur $[0\,;2]$ : l'image de $[0\,;2]$ est $\{0\,;1\,;2\}$, qui n'est pas un intervalle.

7.5 Déterminer l'image d'un intervalle

Si $f$ est continue et croissante sur $[a\,;b]$, son image $f\big([a\,;b]\big)$ est un intervalle qui contient $f(a)$ et $f(b)$ ; et, pour tout $x$ de $[a\,;b]$, $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$. Donc $f\big([a\,;b]\big) = \big[f(a)\,;f(b)\big].$ De même, si $f$ est continue et décroissante sur $[a\,;b]$, $f\big([a\,;b]\big) = \big[f(b)\,;f(a)\big]$. Si $f$ change de sens de variation, on découpe l'intervalle.

Exemple 30. La fonction carré est continue et croissante sur $[1\,;3]$, donc $f\big([1\,;3]\big) = [1\,;9]$.

Sur $[-1\,;2]$, elle est décroissante sur $[-1\,;0]$ et croissante sur $[0\,;2]$. Donc $f\big([-1\,;0]\big) = [0\,;1]$ et $f\big([0\,;2]\big) = [0\,;4]$, puis $f\big([-1\,;2]\big) = [0\,;1] \cup [0\,;4] = [0\,;4]$.

Exemple 31. La fonction inverse est continue et décroissante sur $\left[\frac12\,;4\right]$, donc l'image de cet intervalle est $\left[\frac14\,;2\right]$.