Lever une indétermination

Face à une forme indéterminée, on transforme l'écriture de la fonction, puis on applique les théorèmes de la leçon 4. Trois méthodes couvrent les cas du programme.

5.1 Polynômes et fonctions rationnelles en $+\infty$ ou en $-\infty$

Exemple 16. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 - 5x\right)$.

C'est une forme $\infty - \infty$. On met en facteur le terme de plus haut degré : pour $x \neq 0$, $x^2 - 5x = x^2\left(1 - \dfrac5x\right)$. Or $x^2 \to +\infty$ et $1 - \dfrac5x \to 1$. Par produit, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(x^2 - 5x\right) = +\infty$.

Exemple 17. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 4}$.

C'est une forme $\dfrac{\infty}{\infty}$. On met en facteur $x^2$ en haut et en bas : pour $x \neq 0$, $\frac{3x^2 - x + 1}{x^2 + 4} = \frac{x^2\left(3 - \frac1x + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \frac{4}{x^2}\right)} = \frac{3 - \frac1x + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{1} = 3.$

La même factorisation donne, dans tous les cas, la règle suivante.

Propriété. En $+\infty$ et en $-\infty$ :

• un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ;
• une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur.

Exemple 18. $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \left(2x^3 - 5x^2 + 1\right) = \lim_{x \to -\infty} 2x^3 = -\infty$.

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x} = 0$.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to +\infty} x = +\infty$.

Attention. Cette règle ne vaut qu'en $+\infty$ et en $-\infty$, jamais en un réel $a$.

5.2 Forme $\frac00$ en un réel $a$ : factoriser par $x - a$

Si le numérateur et le dénominateur d'une fonction rationnelle s'annulent en $a$, alors $a$ est une racine des deux polynômes : on peut les factoriser par $x - a$ (identification, méthode de Horner ou division euclidienne, vues en Seconde), puis simplifier.

Exemple 19. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4}$.

En $2$ : $4 - 6 + 2 = 0$ et $4 - 4 = 0$, c'est une forme $\dfrac00$. On factorise : $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ et $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Pour $x \neq 2$ (et $x \neq -2$), $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{x - 1}{x + 2}, \qquad \text{donc} \qquad \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 4} = \frac{2 - 1}{2 + 2} = \frac14.$

Exemple 20. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x + 1}$.

Forme $\dfrac00$. Comme $-1$ est racine de $x^3 + 1$, on factorise : $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$ (on le vérifie en développant). Pour $x \neq -1$, $\dfrac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 - x + 1$, donc la limite vaut $1 + 1 + 1 = 3$.

5.3 Avec des racines carrées : l'expression conjuguée

Quand l'indétermination vient d'une différence contenant une racine carrée, on multiplie et on divise par l'expression conjuguée, en utilisant $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Exemple 21. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt x - 2}{x - 4}$.

Forme $\dfrac00$. L'expression conjuguée de $\sqrt x - 2$ est $\sqrt x + 2$. Pour $x \geq 0$ et $x \neq 4$, $\frac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \frac{\left(\sqrt x - 2\right)\left(\sqrt x + 2\right)}{(x - 4)\left(\sqrt x + 2\right)} = \frac{x - 4}{(x - 4)\left(\sqrt x + 2\right)} = \frac{1}{\sqrt x + 2}.$ Donc $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt x - 2}{x - 4} = \frac{1}{2 + 2} = \frac14$.

Exemple 22. Calculer $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right)$.

Forme $\infty - \infty$. Pour $x \geq 0$, $\sqrt{x + 1} - \sqrt x = \frac{(x + 1) - x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt x}.$ Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x}\right) = 0$.

5.4 En résumé

Après la transformation, on revient toujours aux théorèmes de la leçon 4.