Fonctions homographiques

2.1 Forme et ensemble de définition

Une fonction homographique s'écrit $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx + d}$, avec $c \neq 0$ et $ad - bc \neq 0$ (sinon $f$ est constante là où elle est définie). Elle est définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{d}{c}\right\}$.

2.2 Dérivée

Par la règle du quotient, sur chaque intervalle de $D_f$ : $f'(x) = \frac{a(cx + d) - c(ax + b)}{(cx + d)^2} = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}.$ Le dénominateur est strictement positif : $f'(x)$ a le signe de $ad - bc$, qui ne change pas.

• Si $ad - bc > 0$, $f$ est strictement croissante sur chacun des deux intervalles de $D_f$.
• Si $ad - bc < 0$, $f$ est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles.

Une fonction homographique n'a donc pas d'extremum. Attention : elle est monotone sur chacun des intervalles, pas sur leur réunion.

2.3 Asymptotes et centre de symétrie

• En $\pm\infty$, $f(x)$ a la limite du quotient des termes de plus haut degré, $\dfrac{ax}{cx} = \dfrac{a}{c}$ : la droite d'équation $y = \dfrac{a}{c}$ est asymptote horizontale.
• En $-\dfrac{d}{c}$, le dénominateur tend vers $0$ et le numérateur vers un nombre non nul (car $ad - bc \neq 0$) : $f$ tend vers l'infini, et la droite d'équation $x = -\dfrac{d}{c}$ est asymptote verticale.
• Le point d'intersection des deux asymptotes, $\Omega\left(-\dfrac{d}{c}\,;\dfrac{a}{c}\right)$, est centre de symétrie de la courbe. C'est une hyperbole, image de celle de $x \mapsto \dfrac{k}{x}$ par une translation (chapitre 1, leçon 4).

Exemple 4 (étude complète). Soit $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$.

1. Ensemble de définition. $x + 1 = 0$ pour $x = -1$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\} = \left]-\infty\,;-1\right[ \cup \left]-1\,;+\infty\right[$.

2. Limites et asymptotes.

• En $\pm\infty$ : $\dfrac{2x}{x} = 2$, donc $\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 2$. La droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale.
• En $-1$ : le numérateur tend vers $-3$. Si $x < -1$, $x + 1$ tend vers $0$ en restant négatif, donc $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ ; si $x > -1$, $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$. La droite d'équation $x = -1$ est asymptote verticale.

3. Dérivée. $f'(x) = \dfrac{2(x + 1) - (2x - 1)}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty\,;-1\right[$ et sur $\left]-1\,;+\infty\right[$.

$x$	$-\infty$		$-1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	‖	$+$
variations de $f$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$ ‖ $-\infty$	$\nearrow$	$2$

4. Position par rapport à l'asymptote horizontale. $f(x) - 2 = \dfrac{2x - 1 - 2(x + 1)}{x + 1} = \dfrac{-3}{x + 1}$. Pour $x < -1$, $f(x) - 2 > 0$ : la courbe est au-dessus de la droite $y = 2$. Pour $x > -1$, elle est en dessous.

5. Centre de symétrie. Les asymptotes se coupent en $\Omega(-1\,;2)$. Vérifions : si $x \neq -1$, alors $-2 - x \neq -1$, et $f(x) = 2 - \dfrac{3}{x + 1}$ donne $f(-2 - x) = 2 - \dfrac{3}{-1 - x} = 2 + \dfrac{3}{x + 1}$. Donc $f(-2 - x) + f(x) = 4 = 2 \times 2$ : $\Omega(-1\,;2)$ est centre de symétrie.

6. Points remarquables. $f(x) = 0$ pour $x = \dfrac12$ : la courbe coupe l'axe des abscisses en $\left(\dfrac12\,;0\right)$. $f(0) = -1$ : elle coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;-1)$, où la tangente a pour coefficient directeur $f'(0) = 3$ ; son équation est $y = 3x - 1$.

7. Tracé. On trace les deux asymptotes, on place $\Omega$, les points $(0\,;-1)$ et $\left(\dfrac12\,;0\right)$, et par exemple $f(2) = 1$, $f(-2) = 5$ et $f(-4) = 3$. La branche de droite monte de $-\infty$ vers $2$ en restant sous l'asymptote $y = 2$ ; la branche de gauche, symétrique par rapport à $\Omega$, monte de $2$ vers $+\infty$ au-dessus de cette asymptote.