Le plan d'étude ; fonctions polynômes

1.1 Le plan d'étude d'une fonction

Pour étudier une fonction $f$ et tracer sa courbe, on suit toujours le même plan.

1. Ensemble de définition $D_f$. Si $f$ est paire, impaire, périodique, ou si sa courbe a un élément de symétrie donné, on peut réduire l'ensemble d'étude (chapitre 1).
2. Limites aux bornes de $D_f$ (et à gauche et à droite d'une valeur interdite). On en déduit les asymptotes (chapitre 2, et leçon 3 pour les asymptotes obliques).
3. Dérivée : ensemble de dérivabilité, calcul de $f'(x)$, puis factorisation (chapitre 3).
4. Signe de $f'(x)$ et tableau de variations, avec les extremums et les limites.
5. Points et droites remarquables : intersections de $\mathcal{C}_f$ avec les axes, tangentes utiles (horizontales, ou en un point demandé), centre ou axe de symétrie (donné dans l'énoncé), position de la courbe par rapport à une asymptote.
6. Tracé : d'abord les asymptotes, puis les points remarquables avec leurs tangentes, enfin la courbe, en suivant le tableau de variations de gauche à droite.

Le tableau de variations est le résumé de l'étude : la courbe doit lui obéir. Quand elle monte dans le tableau, elle monte sur le dessin ; une double barre signale une valeur interdite, où la courbe est coupée.

1.2 Polynômes du second degré

Exemple 1. Soit $f(x) = -x^2 + 2x + 3$, définie sur $\mathbb{R}$.

• Limites. Par le terme de plus haut degré, $f(x)$ tend vers $-\infty$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
• Dérivée. $f'(x) = -2x + 2 = -2(x - 1)$ : positive pour $x < 1$, négative pour $x > 1$. Le maximum est $f(1) = 4$.

$x$	$-\infty$		$1$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$4$	$\searrow$	$-\infty$

• Axe de symétrie. Pour tout réel $x$, $f(2 - x) = -(2 - x)^2 + 2(2 - x) + 3 = -x^2 + 2x + 3 = f(x)$ : la droite d'équation $x = 1$ est un axe de symétrie de la parabole (chapitre 1).
• Intersections avec les axes. $f(x) = 0$ équivaut à $x^2 - 2x - 3 = 0$, soit $(x + 1)(x - 3) = 0$ : la courbe coupe l'axe des abscisses en $(-1\,;0)$ et $(3\,;0)$. Elle coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;3)$.

Pour un trinôme $ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), la dérivée $2ax + b$ s'annule en changeant de signe en $-\dfrac{b}{2a}$ : la courbe est une parabole d'axe $x = -\dfrac{b}{2a}$, tournée vers le bas si $a < 0$, vers le haut si $a > 0$. On le savait déjà par la forme canonique (Seconde et chapitre 1).

1.3 Polynômes du troisième degré

Exemple 2 (étude complète). Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, définie sur $\mathbb{R}$. On a vu au chapitre 1 (exemple 14) que $\Omega(1\,;0)$ est un centre de symétrie de sa courbe. Étudions-la complètement.

1. Limites. Par le terme de plus haut degré, $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

2. Dérivée. $f$ est un polynôme, dérivable sur $\mathbb{R}$, et $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines $0$ et $2$, négatif entre elles.

3. Tableau de variations. $f(0) = 2$ et $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$.

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
signe de $f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
variations de $f$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

$f$ admet un maximum local $2$ en $0$ et un minimum local $-2$ en $2$ ; en ces deux points, la tangente est horizontale.

4. Centre de symétrie. Pour tout réel $x$, $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 - x)^2 + 2 = -x^3 + 3x^2 - 2 = -f(x)$, donc $f(2 - x) + f(x) = 0 = 2 \times 0$ : le point $\Omega(1\,;0)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$. La tangente en $\Omega$ a pour coefficient directeur $f'(1) = -3$ ; son équation est $y = -3(x - 1)$, soit $y = -3x + 3$.

5. Intersections avec les axes. $f(0) = 2$ : la courbe coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;2)$. Comme $f(1) = 0$, on factorise par $x - 1$ : $x^3 - 3x^2 + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)$. Le trinôme $x^2 - 2x - 2$ a pour discriminant $12$ et pour racines $1 - \sqrt3$ et $1 + \sqrt3$. La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points, d'abscisses $1 - \sqrt3 \approx -0{,}73$, $1$ et $1 + \sqrt3 \approx 2{,}73$.

6. Tracé. On place les points $(0\,;2)$ et $(2\,;-2)$ avec leurs tangentes horizontales, le point $\Omega(1\,;0)$ avec sa tangente, et deux points de plus : $f(-1) = -2$ et $f(3) = 2$. Puis on trace en suivant le tableau : la courbe monte jusqu'à $(0\,;2)$, descend jusqu'à $(2\,;-2)$ en passant par $\Omega$, puis remonte.

Remarques.

• La courbe d'un polynôme de degré $3$ n'a pas d'asymptote : ses limites en $\pm\infty$ sont infinies, et elle n'a pas de valeur interdite.
• Le centre de symétrie est donné dans l'énoncé ou suggéré par une question : on ne le cherche pas au hasard.

Exemple 3 (une dérivée qui s'annule sans changer de signe). Soit $g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$. On a $g'(x) = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$, qui s'annule en $1$ sans changer de signe. En développant, on vérifie que $g(x) = (x - 1)^3 + 1$ : la courbe de $g$ est celle de la fonction cube, translatée du vecteur $\vec u(1\,;1)$ (chapitre 1). La fonction cube étant strictement croissante, $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ : elle n'a pas d'extremum. Au point $(1\,;1)$, la tangente est horizontale et la courbe la traverse.