Devoir sur 20 : Étude de fonctions

Devoir d'une heure, sur 20 points. Les exercices 1 à 3 sont communs aux séries S1-S3 et S2-S4 ; l'exercice 4 existe en deux versions, une par série. Calculatrice autorisée pour placer des points. Seuil proposé : 10/20. Corrigé et barème à la fin.

Sujet

Exercice 1 (8 points)

On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ , et on note $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.

Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f$ . (0,5 point)
Déterminer les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que, pour tout $x \in D_f$ , $f(x) = ax + b + \dfrac{c}{x + 1}$ . (1 point)
Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ . En déduire que $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes, dont une asymptote oblique $D$ . (2 points)
Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $D$ . (0,5 point)
Montrer que $f'(x) = \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$ , puis dresser le tableau de variations de $f$ . (2 points)
Montrer que le point $\Omega(-1\,;0)$ est centre de symétrie de $\mathcal{C}$ . (1 point)
Tracer les asymptotes et $\mathcal{C}$ . (1 point)

Exercice 2 (5 points)

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 3x - 2$ , et $\Gamma$ sa courbe.

Calculer les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty$ . (0,5 point)
Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$ . (1,5 point)
Vérifier que $g(x) = (x + 1)^2(x - 2)$ , puis donner les points d'intersection de $\Gamma$ avec les axes. (1 point)
Montrer que le point $I(0\,;-2)$ est centre de symétrie de $\Gamma$ . (1 point)
Déterminer une équation de la tangente à $\Gamma$ au point $I$ . (1 point)

Exercice 3 (3 points)

Soit $h(x) = \cos 2x$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Montrer que $h$ est périodique de période $\pi$ et qu'elle est paire. Justifier qu'il suffit de l'étudier sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ . (1 point)
Calculer $h'(x)$ et étudier les variations de $h$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ . (1 point)
Tracer la courbe de $h$ sur $[-\pi\,;\pi]$ . (1 point)

Exercice 4 (4 points) S2 · S4

On reprend la fonction $f$ et la courbe $\mathcal{C}$ de l'exercice 1.

À l'aide du tableau de variations, discuter, suivant les valeurs du réel $m$ , le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ . (2 points)
Résoudre graphiquement, puis par le calcul, l'inéquation $f(x) > x + 1$ . (2 points)

Corrigé et barème (après avoir cherché)

Exercice 1

1. (0,5 pt) $x + 1 = 0 \iff x = -1$ : $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ .

2. (1 pt) $ax + b + \dfrac{c}{x + 1} = \dfrac{ax^2 + (a + b)x + b + c}{x + 1}$ . On identifie avec $x^2 + 2x + 2$ : $a = 1$ , $a + b = 2$ , $b + c = 2$ , d'où $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ : $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x + 1}$ .

3. (2 pts) En $\pm\infty$ , $\dfrac{x^2}{x} = x$ : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ (0,5 pt). En $-1$ , le numérateur tend vers $1$ : $\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$ ; la droite $x = -1$ est asymptote verticale (1 pt). $f(x) - (x + 1) = \dfrac{1}{x + 1}$ tend vers $0$ en $\pm\infty$ : $D : y = x + 1$ est asymptote oblique (0,5 pt).

4. (0,5 pt) $\dfrac{1}{x + 1} > 0 \iff x > -1$ : $\mathcal{C}$ est au-dessus de $D$ sur $\left]-1\,;+\infty\right[$ , en dessous sur $\left]-\infty\,;-1\right[$ .

5. (2 pts) $f'(x) = \dfrac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \dfrac{x(x + 2)}{(x + 1)^2}$ (1 pt). $f(-2) = \dfrac{2}{-1} = -2$ et $f(0) = 2$ (1 pt pour le tableau) :

$x$	$-\infty$		$-2$		$-1$		$0$		$+\infty$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	‖	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	$-\infty$ ‖ $+\infty$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$

6. (1 pt) Si $x \neq -1$ , alors $-2 - x \neq -1$ , et $f(-2 - x) = -2 - x + 1 + \dfrac{1}{-1 - x} = -(x + 1) - \dfrac{1}{x + 1} = -f(x)$ . Donc $f(-2 - x) + f(x) = 0 = 2 \times 0$ .

7. (1 pt) Asymptotes $x = -1$ et $y = x + 1$ ; points $(-2\,;-2)$ et $(0\,;2)$ avec tangentes horizontales, $(1\,;2{,}5)$ , $(-3\,;-2{,}5)$ ; courbe symétrique par rapport à $\Omega$ . La courbe ne coupe pas l'axe des abscisses (discriminant de $x^2 + 2x + 2$ égal à $-4$ ).

Exercice 2

1. (0,5 pt) Par le terme de plus haut degré : $-\infty$ en $-\infty$ , $+\infty$ en $+\infty$ .

2. (1,5 pt) $g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$ (0,5 pt). $g(-1) = -1 + 3 - 2 = 0$ et $g(1) = 1 - 3 - 2 = -4$ (1 pt pour le tableau) :

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$+\infty$
$g'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$	$+\infty$

3. (1 pt) $(x + 1)^2(x - 2) = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) = x^3 - 3x - 2$ . $\Gamma$ coupe l'axe des abscisses en $(2\,;0)$ et le touche en $(-1\,;0)$ ; elle coupe l'axe des ordonnées en $(0\,;-2)$ .

4. (1 pt) $g(-x) + g(x) = (-x^3 + 3x - 2) + (x^3 - 3x - 2) = -4 = 2 \times (-2)$ .

5. (1 pt) $g'(0) = -3$ : la tangente en $I$ a pour équation $y = -3x - 2$ .

Exercice 3

1. (1 pt) $h(x + \pi) = \cos(2x + 2\pi) = \cos 2x$ et $h(-x) = \cos(-2x) = \cos 2x$ . Par parité, l'étude sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ donne $\left[-\dfrac\pi2\,;\dfrac\pi2\right]$ , intervalle de longueur $\pi$ ; la périodicité donne le reste.

2. (1 pt) $h'(x) = -2\sin 2x$ . Pour $x \in \left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ , $2x \in [0\,;\pi]$ et $\sin 2x \geq 0$ : $h' \leq 0$ , et $h$ décroît de $h(0) = 1$ à $h\left(\dfrac\pi2\right) = -1$ .

3. (1 pt) On trace l'arc sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ , son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, puis les translations de vecteurs $\pi\vec i$ et $-\pi\vec i$ . Maxima $1$ en $-\pi$ , $0$ , $\pi$ ; minima $-1$ en $\pm\dfrac\pi2$ .

Exercice 4 S2 · S4

1. (2 pts) D'après le tableau ( $-\infty \nearrow -2 \searrow -\infty$ ‖ $+\infty \searrow 2 \nearrow +\infty$ ) :

Valeur de $m$	$m < -2$	$m = -2$	$-2 < m < 2$	$m = 2$	$m > 2$
Nombre de solutions	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

2. (2 pts) Graphiquement : $\mathcal{C}$ est au-dessus de $D$ pour $x > -1$ (1 pt). Par le calcul : $f(x) - (x + 1) = \dfrac{1}{x + 1} > 0 \iff x > -1$ . $S = \left]-1\,;+\infty\right[$ (1 pt).